Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

4 Nichtkommutative Gelfandtheorien und ihre AnwendungenIm letzten Abschnitt wollen wir noch einige konkrete Invertierbarkeitsprobleme lösen und müssen uns dazu mitVerallgemeinerungen der Gelfandtheorie für kommutative Banachalgebren befassen.4.1 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen ErzeugerfunktionenWir sehen uns nun die Fredholmtheorie für Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktonen an. EineFunktion a : → heißt stückweise stetig, wenn sie in jedem Punkt t = e ix 0des Einheitskreises einseitige Grenzwertevon beiden Seiten besitzt, d.h. wenn die Grenzwertelim x↘x0 a(e i x ) =: a(t + 0), lim x↗x0 a(e ix ) =: a(t − 0)für alle t = e ix 0existieren und endlich sind. Da wir a als Element von L ∞ () betrachten, ist der Funktionswert vona an den Sprungstellen unwesentlich. Möchte man jedoch eine vernünftige Algebra von Funktionen haben, verlangtman z.B., dass a(t + 0) = a(t) für alle t ∈ . Die Menge PC der stückweise stetigen Funktionen bildet dann eineC ∗ -Algebra bezüglich punktweiser Operationen und der Supremumsnorm.Sei T(PC) die kleinste abgeschlossene Unteralgebra von L(l 2 ), welche alle Toeplitzoperatoren T(a) mit a ∈ PC enthält.Wegen C ⊆ PC ist natürlich die bereits untersuchte Algebra T(C) eine abgeschlossene und symmetrische Unteralgebravon T(PC). Insbesondere ist also K(l 2 ) ⊆ T(PC) nach Satz 2.4.4. Genau wie in diesem Abschnitt erhält man daher:Ein Toeplitzoperator T(a) mit a ∈ PC ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn die Nebenklasse T(a) + K(l 2 ) inder Faktoralgebra T(PC)/K(l 2 ) invertierbar ist. Wir bezeichnen den kanonischen Homomorphismus A → A+ K(l 2 ) vonT(PC) auf T(PC)/K(l 2 ) mit π.Leider können wir nicht mehr so einfach wie in Abschnitt 2.4 schließen, dass die Algebra T(PC)/K(l 2 ) kommutativ istund auch zu Satz 2.4.5, der die Algebra T beschreibt, gibt es kein Analogon. Der Hauptgrund für diese Schwierigkeitenist, dass Hankeloperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktionen nicht mehr kommutativ sein müssen. Was manjedoch unmittelbar einsieht ist, dass für beliebige Funktionen a ∈ PC und f ∈ C der OperatorT(a)T(f ) − T(f )T(a) = T(a f ) − H(a)H( ˜f ) − T(f a) + H(f )H(ã) = H(f )H(ã) − H(a)H( ˜f )kompakt ist (beachte: ˜f ist stetig und H(f ), H( ˜f ) sind kompakt). Die Nebenklasse π(T(f )) liegt für f ∈ C also imZentrum der Algebra T(PC)/K(l 2 ). Zur Erinnerung: Das Zentrum einer Algebra A ist die Menge aller c ∈ A mitca = ac für alle a ∈ A. Mit π(T(f )) liegt dann natürlich die komplette Algebra π(T(C)) = T(C)/K(l 2 ) im Zentrumvon T(PC)/K(l 2 ).Eine Banachalgebra, die mit ihrem Zentrum übereinstimmt, ist kommutativ und für kommutative Banachalgebrenhaben wir die Gelfandtheorie kennengelernt. Wir werden nun sehen, dass sich für Algebren mit nichttrivialem Zentrumeine Verallgemeinerung der (kommutativen) Gelfandtheorie herleiten lässt. Solche Verallgemeinerungen sind auch alslokale Prinzipien“ bekannt. Wir schauen uns das lokale Prinzip von Allan/Douglas näher an.”Sei A eine Banachalgebra mit Einselement e und es sei C eine abgeschlossene Unteralgebra im Zentrum von A mite ∈ C. Dann ist C eine kommutative Banachalgebra und wir bezeichnen wir früher mit M(C) die Menge der maximalenIdeale. Für jedes maximale Ideal x von C sei I x das kleinste abgeschossene Ideal von A, welches x umfasst, und wirbezeichnen mit φ x den kanonischen HomomorphismusA → A/I x , a → a + I x .Man beachte, dass die Algebren A/I x im Allgemeinen vom Punkt x abhängen. Insbesondere kann I x = A für einigeder x ∈ M(C) sein. In diesem Fall definieren wir: φ x (a) ist invertierbar in A/I x und φx (a) = 0.Satz 4.1.1 (Allan/Douglas). Seien A, C, x, φ x wie oben. Dann gilt: Ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbarin A, wenn φ x (a) invertierbar in A/I x ist für jedes x ∈ M(C). Weiter ist für jedes a ∈ A die Abbildung M(C) → + ,x → φx (a) oberhalb stetig.Bevor wir diesen Satz beweisen, sehen wir uns an, wie er in zwei einfachen Beispielen und in den Situationen, die unsim Moment interessieren, wirkt.62