Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Da die Linearkombinationen der Operatoren S i j dicht in K(l 2 ) liegen, folgt hierausπ(k)x = 0 ∀k ∈ K(l 2 ).Jeder Nichtnull-Vektor von ist aber zyklisch. Also ist x = 0 und E ii∈eine ON-Basis von .Aus S i0 = S i S i0 S 0 und (S i0 ) ∗ S i0 = S 0i S i0 = S 0 folgt, dass π(S i0 ) = π(S 0 )π(S i0 )π(S 0 ) und π(Si0 ) 2 = π(Si0 ) ∗ π(S i0 ) = π(S0 ) = 1 folgt, dass π(Si0 ) ein Operator mit eindimensionalem Bildraum und Norm 1 ist. Dieser Operator überführtE 0 in α i E i , und wegen π(Si0 ) = 1 muss αi = 1 sein. Sei F0 := E 0 und F i := α i E i für i ≥ 1. Dann ist offenbar F ii≥0ebenfalls eine ON-Basis von . Nunmehr ist klar (Satz von Riesz/Fischer), dassU : → l 2 ,∞∑∞∑x i F i → x i e ii=0i=0ein unitärer Operator von auf l 2 ist. Da nach Konstruktion π(S i0 ) den Vektor F 0 auf F i abbildet, bildet π(S i j ) =π(S i0 )π(S 0j ) den Vektor F j auf F i ab. Hieraus erhält man sofort, dassworausfolgt (Linearkombinationen der S i j sind dicht in K(l 2 )).Uπ(S i j )U ∗ = S i j für alle i, j ∈ ,Uπ(k)U ∗ = k für alle k ∈ K(l 2 )Da sich nach Satz 3.8.8 die irreduzible Darstellung (H, Id) von K(l 2 ) eindeutig zu einer irreduziblen Darstellungvon T(C) fortsetzen lässt und da (H, Id) offenbar eine irreduzible Darstellung von T(C) ist, ist dies die gesuchteFortsetzung. Die einzige (bis auf Äquivalenz) irreduzible Darstellung von T(C), die auf K(l 2 ) nicht verschwindet, istalso die identische Darstellung!Damit ist klar, dassSpecT(C) = Spec(T(C)/K(l 2 )) ∪ SpecK(l 2 ) = M(T(C)/K(l 2 ) ∪ {Id}und dass Prim T(C) genau die folgenden Ideale enthält:• {0} = ker(Id)• J t = {T(f ) + K : f (t) = 0, K ∈ K(l 2 )} für jedes t ∈ .Wir können Prim T(C) also identifizieren mit ∪ {0}. Die Abschließung von {0} in der Hülle-Kern-Topologie ist ganzPrim A, da offenbar jedes Ideal J t das Ideal {0} enthält. (Beachten Sie: wir haben eine einelementige Menge, derenAbschluss der gesamte Raum ist!) Dagegen ist abgeschlossen und die Einschränkung der Hülle-Kern-Topologie auf fällt mit der üblichen Topologie auf zusammen. Für jede Teilmenge S von ist nämlich⋂ker{J s : s ∈ S} = J s = {T(f ) + K : f |¯S = 0, K ∈ K(l 2 )}wobei ¯S den Abschluss von S in der gewöhnlichen Topologie bezeichnet. Folglich ists∈Shull{J s : s ∈ S} = {J s : s ∈ ¯S}.Der Raum Prim A ist nicht Hausdorffsch. Mehr noch: Die konstante Folge {0} konvergiert gegen jeden Punkt von. Anschaulich kann man sich Prim T(C) vorstellen als Kreisscheibe, deren Rand man mit und deren komplettesInneres man mit {0} identifiziert.61