Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Man zeigt nun, dass diese Definition korrekt ist und einen auf einem dichten Teilraum von H stetigen Operator erklärt.Dieser wird zu einem auf ganz H stetigen Operator fortgesetzt. Nun zeigt man, dass ( , ˜π) Darstellung ist. Diese istirreduzibel, da˜π(A) ′ ⊆ π(J) ′ = I,und die Eindeutigkeit folgt daraus, dass jede Fortsetzung ˜π von π erfüllen muss, weswegen ˜π auf einer dichten Mengein H festgelegt ist.3.9 Irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C)In einem etwas längeren Beispiel sehen wir uns die irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C) =T(c) + k : c ∈ C(), k ∈ K(l 2 ) an. Wir wissen bereits, das K(l 2 ) in T(C) enthalten und damit ein abgeschlossenesIdeal von A ist. Folglich gibt es genau zwei Sorten irreduzibler Darstellungen ( , π) von T(C): solche mitK(l 2 ) ⊆ ker π und solche mit π(K(l 2 )) ≠ {0}.Fall 1: K(l 2 ) ⊆ ker πAus Beziehung (3.8.2) wissen wir, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der irreduziblen Darstellungen vonT/K(l 2 ) und den irreduziblen Darstellungen von T(C), die auf K(l 2 ) verschwinden, gibt. Die irreduziblen Darstellungender kommutativen C ∗ -Algebra T/K(l 2 ) sind - bis auf unitäre Äquivalenz - gerade ihre Charaktere. Diese kennen wiraber aus Abschnitt 2.4, wo wir gezeigt haben, dass die Charaktere von T/K(l 2 ) genau die AbbildungenT(f ) + K(l 2 ) → f (t)mit einem t ∈ sind, so dass wir Spec(T/K(l 2 )) mit identifizieren können.Fall 2: π(K(l 2 )) ≠ {0}Aus Beziehung (3.8.3) und Satz 3.8.8 wissen wir, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der irreduziblen Darstellungenvon K(l 2 ) und der Menge der irreduziblen Darstellungen von T(C), welche auf K(l 2 ) nicht verschwinden,gibt.Satz 3.9.1. Jede irreduzible Darstellung von K(l 2 ) ist unitär äquivalent zur identischen Darstellung (l 2 , id).Beweis. Sei ( , π) eine irreduzible Darstellung von K(l 2 ). Weiter sei (e 0 , e 1 , . . .) die ”Standartbasis” von l 2 , und S isei der Orthoprojektor von l 2 auf e i . Dann ist dim Im S i = 1 und S i kompakt. Offenbar ist dann auch π(S i ) für jedesi ein Orthoprojektor, und wir überlegen uns, dassdim Im π(S i ) = 1 für jedes i. (3.9.22)Ganz ähnlich wie im Beweis von Satz 2.4.4 kann man zeigen, dass K(l 2 ) das kleinste abgeschlossene Ideal von K(l 2 ) ist,welches den Operator S i enthält. Wäre nun π(S i ) = 0, so wäre folglich auch π(K(l 2 )) = 0. Dies steht im Widerspruchdazu, dass irreduzible Darstellungen per Definition nicht trivial sind. Also istdim Im π(S i ) ≥ 1 für jedes i.Für die umgekehrte Ungleichung nehmen wir an, dass x, ˜x ∈ Im π(S i ) mit x ≠ 0. Wählen Vektoren y(≠ 0) und ỹ aus mit π(S i )y = x, π(S i )ỹ = ˜x. Da x ≠ 0, ist π(k)x : k ∈ K(l 2 ) dicht in . Es gibt also eine Folge (k n ) ⊆ K(l 2 ) mitlim n→∞ π(k n )π(S i )y = π(S i )ỹ. Multiplikation von links mit π(S i ) liefert lim n→∞ π(S i k n S i )y = π(S i )ỹ. Nun ist aberoffenbar S i k n S i = k n S i mit komplexen Zahlen k n . Folglich ist lim k n π(S i )y = π(S i )ỹ bzw. lim k n x = ˜x. Dies zeigt, dass˜x ∈ spann {x} und folglich dim Im π(S i ) = 1 für jedes i ist.Wir wählen für jedes i einen Einheitsvektor E i aus Im π(S i ). Dann ist〈E i , E j 〉 = 〈π(S i )E i , π(S j )E j 〉 = 〈π(S j S i )E i , E j 〉 = δ i j ,d.h. die Menge E ii∈ bildet ein ONS in . Wir zeigen, dass dieses vollständig ist. Sei x⊥E i für jedes i. Dann istπ(S i )x = 0 (denn π(S i ) ist der Ortoprojektor von auf spann E i ). Sei Si j ∈ K(l 2 ) der Operator mit einer 1 an deri j. Stelle der Matrixdarstellung bzgl. der Basis (e i ) von l 2 und mit Nullen an allen übrigen Stellen. Aus S i j = S i j S jfolgt dannπ(S i j )x = π(S i j )π(S j )x ∀i, j ∈ .60