Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Die Mengen hull M, wobei M die Teilmengen von Prim A durchläuft, bilden also die abgeschlossenen Mengen einerTopologie auf Prim A, die sogennante Hülle-Kern-Topologie oder Jacobson-Topologie. Sie wurde ursprünglich vonZariski in der Algebra eingeführt. Wir vermerken - ohne Beweis - noch einige Eigenschaften des topologischen RaumsPrim A mit der Jacobson-Topologie.• Falls A ein Einselement besitzt, so ist Prim A kompakt.• Der Raum Prim A ist i.a. nicht Hausdorff’sch, jedoch ein T 0 -Raum, d.h. für zwei beliebige Punkte aus Prim Abesitzt wenigstens einer eine Umgebung, die den anderen Punkt nicht enthält.• Für jedes a ∈ A ist die Abbildung Prim A → + , p → a + p unterhalbstetig (dies ist ein recht schwacher Ersatzdafür, dass bei kommutativen C ∗ -Algebren die Abbildung p → a + p stetig ist).• Falls A kommutative C ∗ -Algebra, so ist Prim A = M(A), und die Jacobson-Topologie stimmt mit der Gelfand-Topologie überein. (Dies ist wieder ein typischer C ∗ -Effekt. Für beliebige kommutative Banachalgebren gilt diesi.a. nicht mehr.)Beispiel. Sei A die Menge aller stetigen Funktionen von [0, 1] in 2×2 , deren Wert im Punkt 0 eine Diagonalmatrixist. Versehen mit punktweisen Operationen, einer punktweisen Involution und der Supremumsnorm wird A zu einer(nichtkommutativen) C ∗ -Algebra. Fassen wir 2×2 als L( 2 ) auf, so haben wir für jedes t ∈ (0, 1] eine zweidimensionaleDarstellung f → f (t) von A und diese ist irreduzibel, da ′ f (t) : f ∈ A = 2×2 ′ 1 0 = .0 1Ist weiter f (0) = diag(f 1 (0), f 2 (0)), so haben wir die zwei eindimensionalen Darstellungen (Charaktere)f → f 1 (0) und f → f 2 (0),welche ebenfalls irreduzibel sind. Man kann sich überlegen, dass damit alle irreduziblen Darstellungen (bis auf unitäreÄquivalenz) von A beschrieben sind. Man kann also Prim A identifizieren mit der Vereinigung f 1 , f 2 ∪ (0, 1] desIntervalls (0, 1] mit zwei zusätzlichen Punkten f 1 , f 2 an Stelle der Null. Die Einschränkung der Hülle-Kern-Topologieauf (0, 1] fällt zusammen mit der üblichen (Euklidischen) Topologie auf (0, 1]. Ein Umgebungssystem des Punktes f 1(bzw. f 2 ) wird dagegen durch alle Mengen f 1 ∪(0, ε) (bzwf2 ∪(0, ε)) mit 0 < ε < 1 gegeben. Insbesondere hat jedeUmgebung von f 1 mit jeder Umgebung von f 2 einen nichtleeren Durchschnitt. Prim A ist also kein Hausdorff-Raum.01Wir hatten oben (Lemma 3.8.2 und Lemma 3.8.4) einige Beziehungen zwischen irreduziblen Darstellungen von A, A/Jund J festgestellt. Lemma 3.8.4 können wir noch wie folgt ergänzen:Satz 3.8.8. Sei A eine C ∗ -Algebra und J abgeschlossenes Ideal von A. Sei ( , π) eine irreduzible Darstellung von J.Dann gibt es genau eine Darstellung ( , ˜π) von A mit ˜π| J = π, und diese Darstellung ist irreduzibel.Beweisidee. Sei x zyklischer Vektor von ( , π). Man definiert für a ∈ A einen Operator ˜π)a = auf dem in H dichtenTeilraum π(j)x : j ∈ J durch˜π(a)(π(j)x) := π(a j)x.59