Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Wir überlegen uns zunächst, dass diese Reihe für jedes n konvergiert und dass die resultierende Funktion f ∗ g wiederin l 1 () liegt. Dies folgt aus∞∑ ∞∑ (f ∗ g)(n) ∞∑=f (n − k)g(k)n=−∞≤=n=−∞∞∑k=−∞∞∑n=−∞ k=−∞∞∑k=−∞ g(k) = f1∞∑k=−∞= f1 g1 f (n − k) g(k) ∞∑n=−∞ g(k) f (n − k) Also ist f ∗ g ∈ l 1 () und es gilt f ∗ g1≤ f1 g1. Um zu sehen, dass die Faltung l 1 () zu einer Algebramacht, überprüfen wir beispielsweise das Assoziativgesetz. Die übrigen Algebra-Axiome folgen ebenfalls leicht. Füra, b, c ∈ l 1 () und n ∈ ist((a ∗ b) ∗ c) (n) =∞∑(a ∗ b)(n − k)c(k) =k=−∞Eine Variablenverschiebung l ′ = l + k in der inneren Summe führt zu∞∑∞∑k=−∞ l ′ =−∞∞∑∞∑k=−∞ l=−∞a(n − l ′ )b(l ′ − k)c(k),a(n − k − l)b(l)c(k)und eine Vertauschung der Summationsreihenfolge (die wegen der absoluten Konvergenz der Reihe erlaubt ist) zeigt,dass ((a ∗ b) ∗ c)(n) übereinstimmt mit(a ∗ (b ∗ c))(n) =∞∑l=−∞a(n − l)(b ∗ c)(l) =∞∑∞∑l=−∞ k=−∞a(n − l)b(l − k)c(k)Also ist l 1 () eine Banachalgebra, die sogenannte Wiener-Algebra. Diese ist sogar kommutativ(a ∗ b)(n) =∞∑k=−∞a(n − k)b(k) =∞∑k ′ =−∞a(k ′ )b(n − k ′ ) = (b ∗ a)(n)und durch a ∗ (n) = a(−n) wird eine Involution auf l 1 () erklärt, die l 1 () zu einer kommutativen Banach-∗-Algebramit Einselement macht (↗ Übung)Ganz ähnlich lassen sich auch entsprechende Algebren von Funktionen einführen. Dazu definieren wir auf dem RaumC C ( n ) der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger das Faltungsprodukt durch∫(f ∗ g)(x) := nf (x − y)g(y)d yund eine Involution durch f ∗ (x) := f (−x). Diese Operationen machen C C ( n ) zu einer kommutativen und involutivenAlgebra. Weiter wird durch∫ f 1:=f (y) d y neine Norm auf dem linearen Raum C C ( n ) erklärt, für die gilt f∗ 1= f 1und f ∗ g1 ≤ f 1 g1 (1.1.4)Sei L 1 ( n ) die Vervollständigung des normierten Raums C C ( n ) bezüglich ‖·‖ 1 . Wegen (1.1.4) lassen sich Involutionund Faltung stetig auf L 1 ( n ) fortsetzen und wir erhalten wieder eine kommutative Banach-∗-Algebra.5