Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Auf Prim A lässt sich eine natürliche Topologie einführen. Grundlage dafür ist der folgende Satz, für den wir zunächsteine Vorüberlegung brauchen:Lemma 3.8.4. Sei ( , π) irreduzible Darstellung einer C ∗ -Algebra A, und J sei ein abgeschlossenes Ideal von A mitπ(J) ≠ {0}. Dann ist ( , π| J ) eine irreduzible Darstellung von J.Beweis. Wäre ( , π| J ) nicht irreduzibel, so gäbe es einen Vektor x ∈ \ {0} mit {0} ̸= clos π(j)x : j ∈ J ≠ .Der Raum clos π(j)x : j ∈ J ist aber auch invariant bezüglich π(A):π(a)π(j)x = π(a j)x ∈ π(J)x für alle a ∈ A, j ∈ J.Somit ist ( , π) keine irreduzible Darstellung von A. Dies ist ein Widerspruch.Satz 3.8.5. Jedes primitive Ideal J einer C ∗ -Algebra A ist ein Primideal, d.h. sind J 1 , J 2 Ideale von A mit J 1 J 2 ⊆ J, soist J 1 ⊆ J oder J 2 ⊆ J.Beweis. Sei nun J ein primitives Ideal von A, d.h. J = ker π für eine irreduzible Darstellung ( , π) von A, und seinenJ 1 , J 2 Ideale mit J 1 J 2 ⊆ J. Wegen der Abgeschlossenheit von J ist dann auch ¯J 1 ¯J 2 ⊆ J für die Abschließungen ¯J 1 , ¯J 2von J 1 , J 2 . Es genügt daher, Satz 3.8.5 für abgeschlossene Ideale J 1 , J 2 zu beweisen.Seien also J 1 , J 2 abgeschlossen. Angenommen, es ist π(J 1 ) ≠ {0} und π(J 2 ) ≠ {0}. Dann sind nach Lemma 3.8.4:π| J1 und π| J2 irreduzible Darstellungen von J 1 und J 2 . Jeder Vektor x ∈ \ {0} ist dann zyklisch für ( , π| J2 ).Insbesondere gibt es also ein j 2 ∈ J 2 mit y := π(j 2 )x ≠ 0. Der Vektor y ist zyklisch für ( , π| J1 ). Es gibt alsoinsbesondere ein j 1 ∈ J 1 so, dass π(j 1 )y ≠ 0. Damit ist0 ≠ π(j 1 )y = π(j 1 )π(j 2 )x = π(j 1 j 2 )x,andererseits ist aber j 1 j 2 ∈ J 1 J 2 ⊆ J und folglich π(j 1 j 2 ) = 0. Dieser Widerspruch zeigt, dass unsere Annahme falschwar.Definition 3.8.6. Wir definieren nun für jede Teilmenge M von Prim A ihren Kern⋂ker M = mund ihre Hüllem∈Mhull M = p ∈ Prim A : ker M ⊆ p .Satz 3.8.7. Die auf den Teilmengen von Prim A definierte Abbildung M → hull M erfüllt die Kuratovslei’schen Axiomeder Abschließung.Beweis.(i) hull = . Denn ker = A und A liegt in keinem primitiven Ideal, da ja sonst A selbst primitiv wäre und diezugehörige irreduzible Darstellung die Null-Darstellung sein müsste. Diese hatten wir jedoch ausgeschlossen.(ii) M ⊆ hull(M). Denn aus m ∈ M folgt ker M ⊆ m, woraus sofort m ∈ hull M folgt.(iii) hull M = hull(hull M). Denn sei F = hull M für eine Teilmenge M von Prim A. Aus f ∈ hull F folgt ker F ⊆ f .Wegen F = hull M ist aber auch ker M ⊆ ker F und damit ker M ⊆ f . Dies bedeutet aber f ∈ hull M = F. Es istalso hull F ⊆ F und die umgekehrte Inklusion folgt aus Teil (ii).(iv) hull(M 1 ∪ M 2 ) = hull M 1 ∪ hull M 2 für alle M 1 , M 2 ⊆ Prim A. Denn ist m 1 ∈ hull M 1 , so istworaus folgtAnalog ist hull M 2 ⊆ hull(M 1 ∪ M 2 ) und folglichSei umgekehrt m ∈ hull(M 1 ∪ M 2 ). Dann istker(M 1 ∪ M 2 ) ⊆ ker M 1 ⊆ M 1m 1 ∈ hull(M 1 ∪ M 2 ) bzw. hull M 1 ⊆ hull(M 1 ∪ M 2 ).hull M 1 ∪ hull M 2 ⊆ hull(M 1 ∪ M 2 ).ker M 1 ∩ ker M 2 = ker(M 1 ∪ M 2 ) ⊆ m.Dann ist natürlich erst recht ker M 1 · ker M 2 ⊆ m. Da m Primideal ist, folgt mit Satz 3.8.7, dass ker M 1 ⊆ m oderker M 2 ⊆ m, d.h. m ∈ hull M 1 oder m ∈ hull M 2 . Also ist m ∈ hull M 1 ∪ hull M 2 .58