Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

3.8 Primitive IdealeFür kommutative C ∗ -Algebren mit Eins giltSpec A = M(A) = Raum der maximalen Ideale,und wir wissen ferner, dass man M(A) mit einer Topologie versehen kann, so dass jedem Element a ∈ A eine stetigeFunktion auf M(A) umkehrbar eindeutig entspricht. Lässt sich etwas ähnliches auch im nichtkommutativen Fallerreichen?Definition 3.8.1. Sei A eine C ∗ -Algebra. Ein Ideal von A heißt primitiv, wenn es der Kern einer irreduziblen Darstellungvon A ist. Die Menge aller primitiven Ideale von A bezeichnen wir mit Prim A. Falls A kommutativ ist, fällt Prim Amit der Menge aller maximalen Ideale von A zusammen.Sind zwei Darstellungen von A unitär äquivalent, so stimmen ihre Kerne überein. Die AbbildungSpec A → Prim A, (Äquivalenzklasse von ( , π)) → ker π (3.8.21)ist daher wohldefiniert. Diese Abbildung ist offenbar surjektiv, im allgemeinen jedoch nicht injektiv. In der Regel istSpec A nur dann einer Untersuchung zugänglich, wenn die Abbildung (3.8.21) eine Bijektion ist.Für den nächsten Satz benötigen wir folgende Vorüberlegung:Lemma 3.8.2. Sei A eine C ∗ −Algebra (mit Eins) und I ein abgeschlossenes Ideal. Sei ( , π) eine irreduzible Darstellungvon A, die auf I verschwindet. Dann istwohldefiniert undπ I : A/I → L( ), a + I → π(a).(i) die Abbildung π → π I eine Bijektion zwischen der Menge der irreduziblen Darstellungen von A, die auf Iverschwinden und der Menge der irreduziblen Darstellungen von A/I.(ii) die Abbildung (π) → (π I ) eine Bijektion zwischen der Menge der Äquivalenzklassen von irreduziblen Darstellungenvon A, die auf I verschwinden und Spec A/I.(iii) die Abbildung ker π → ker π Iund Prim A/I.eine Bijektion zwischen der Menge der primitiven Ideale von A, die I enthaltenBeweis. Exemplarisch zeigen wir (i):Wegen π(I) = {0} ist die Abbildung π I korrekt definiert, und ( , π I ) ist eine Darstellung von A/I. Diese Darstellungist wieder irreduzibel. Die Bilder von π und π I stimmen nämlich überein, und folglich besitzen sie den gleichenKommutanten. Aus π I (A) ′ = I H folgt aber die Irreduzibilität von ( , π I ) nach Schurs Lemma. Ist umgekehrt ( , π I )eine irreduzible Darstellung von A/I und ϕ der kanonische Homomorphismus von A auf A/I, so ist ( , π I ◦ ϕ) eineirreduzible Darstellung von A (Beweis wie oben).Satz 3.8.3. Sei A eine C ∗ -Algebra (mit Eins). Dann gilt(i) Für alle a ∈ A ist ‖a‖ = max ( ,π) 1 ∈Spec A ‖π(a)‖ (wobei ( , π)1 die unitäre Äquivalenzklasse bezeichnet, die( , π) enthält).(ii) Der Durchschnitt aller primitiven Ideale von A ist {0}.(iii) Jedes abgeschlossene Ideal I von A ist gleich dem Durchschnitt aller primitiven Ideale von A, welche I enthalten.Beweis. Aussage (i) folgt sofort aus Satz 3.7.3, und (ii) ist eine unmittelbare Folgerung von (i). Wir zeigen noch (iii):Sei dazu π I wie in Lemma 3.8.2.Wegen x ∈ ker π ⇔ x + I ∈ ker π I hat man nun:x ∈⋂(π)∈Spec A:I⊆ker πker π ⇔ x + I ∈⋂(π I )∈Spec A/Iker π INach Aussage (ii) ist dieser Durchschnitt aber das Nullelement von A/I, d.h. x ∈ I.57