Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

(ii) gibt es eine irreduzible Darstellung ( , π) von A mit ‖π(a)‖ = ‖a‖.Beweis.(i) Aus Satz 3.5.2 wissen wir bereits, dass die Menge Z(a) aller Zustände f von A mit f (a ∗ a) = ‖a‖ 2 nicht leerist. Außerdem überzeugt man sich sofort davon, dass Z(a) eine konvexe und ∗ -schwach abgeschlossene Mengeist. Nach dem Satz von Krein/Milman (vgl. z.B. [Kadison/Ringrose], Fundamentals of the Theory of OperatorAlgebras I, Theorem 1.4.3) ist Z(a) die abgeschlossene konvexe Hülle der Menge der Extrempunkte von Z(a).Insbesondere gibt es also Extrempunkte von Z(a). Wir zeigen, dass jeder Extrempunkt ϕ von Z(a) auch einExtrempunkt von S(A), d.h. ein reiner Zustand ist.Sei ϕ = µg 1 +(1−µ)g 2 mit µ ∈ (0, 1) und mit Zuständen g 1 und g 2 . Wäre g 1 (a ∗ a) < ‖a‖ 2 oder g 2 (a ∗ a) < ‖a‖ 2 ,so wäre auch ϕ(a ∗ a) < ‖a‖ 2 (beachte, dass |h(a ∗ a)| ≤ ‖h‖ ‖a ∗ a‖ = ‖a‖ 2 für jeden Zustand h). Dies ist nichtmöglich. Also gehören g 1 und g 2 bereits zu Z(a). Da ϕ Extrempunkt von Z(a) ist, folgt g 1 = g 2 = ϕ.(ii) Sei ( f , π f ) die vermöge GNS dem Zustand f aus Teil (i) entsprechende Darstellung. Diese Darstellung istirreduzibel nach Satz 3.5.1 (gemäß Satz 3.5.1 ist nämlich für alle a ∈ Af (b) = 〈π f (b)ξ f , ξ f 〉mit ξ f 2= f = 1),und nach Satz 3.5.2 ist πf (a) = ‖a‖.Genauso wie Satz 3.5.3 beweist man nun:Folgerung 3.7.4. Sei A eine C ∗ -Algebra (mit Eins). Dann ist die direkte Summe ⊕( f , π f ), wobei über alle reinenZustände f von A summiert wird, ein isometrischer ∗-Isomorphismus von A auf eine abgeschlossene und symmetrischeUnteralgebra von (⊕ f ).Beispiel 3.7.5. Sei A eine kommutative C ∗ -Algebra und ( , π) eine irreduzible Darstellung. Da A kommutativ ist, giltπ(A) ⊆ π(A) ′ , und π(A) ′ ist I nach dem Schurschen Lemma. Für jeden zyklischen Vektor x ∈ gilt alsoclos {π(a)x : a ∈ A} = clos {x} = H,d.h. der Hilbertraum ist eindimensional. Insbesondere gibt es einen unitären Operator U : → , und dieAbbildungA → , a → Uπ(a)U −1ist ein Charakter von A. Fazit:Jede irreduzible Darstellung von A ist unitär äquivalent zu einem Charakter von A.Natürlich ist umgekehrt für jeden Charakter f (a) die AbbildungA → L(), a → f (a)Ieine irreduzible Darstellung von A.Sind für zwei Charaktere f 1 , f 2 von A die DarstellungenA → L(), a → f 1 (a)I und A → L(), a → f 2 (a)Iunitär äquivalent, so ist offenbar ker f 1 = ker f 2 . Da es eine Bijektion zwischen den Charakteren und ihren Kernen(den maximalen Idealen von A) gibt, folgt umgekehrt aus ker f 1 = ker f 2 , dass f 1 = f 2 und dass folglich f 1 und f 2 diegleiche Darstellung erzeugen.Definition 3.7.6. Die Menge aller unitären äquivalenzklassen von irreduziblen Darstellungen einer C ∗ -Algebra A heißtdas Spektrum von A. Bezeichnung: Spec A. Wie wir soeben gesehen haben, kann man für kommutative C ∗ -AlgebrenA (mit Eins) Spec A mit der Menge M(A) der Charaktere identifizieren.56