Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Nun ist A sa sicher konvex, und mit A sa sind auch weak-clos A sa und strong-clos A sa konvex. Wie wir soeben gesehenhaben ist alsoweak-clos A sa = strong-clos A sa . (3.6.18)Nun folgt aus (3.6.17), dass R ∈ weak-clos A sa . Wegen (3.6.18) gibt es daher ein Netz (B s ) s∈S in A sa , welches starkgegen R konvergiert. Da f eine starkstetige Funktion ist, ist dann f (B s )) s∈S ein Netz in der Einheitskugel von A sa ,welches stark gegen f (R) = T konvergiert.Nun zeigen wir noch die Dichtheit der kompletten Einheitskugel von A in der von A ′′ . Sei T ∈ A ′′ mit ‖T‖ ≤ 1.Wir bilden die orthogonale Summe ⊕ und fassen jeden Operator aus L( ⊕ ) auf als 2 × 2-Matrix Einrägenaus L( ). Mit M ” (A) und M 2 (A ′′ ) bezeichnen wir die Mengen aller 2 × 2-Matrizen mit Einträgen aus A bzw. aus A ′′ .Man macht sich leicht klar, dass M 2 (A) und M 2 (A ′′ ) C ∗ -Unteralgebren von L( ⊕ ) sind und dassM 2 (A) ′′ = M 2 (A ′′ ) 0 T(vgl. Beweis von Satz 3.6.4). Der OperatorT ∗ ist dann ein Element der Einheitskugel von M02 (A ′′ ) sa . Erkann, wie wir oben gesehen haben, durch ein Netz aus der Einheitskugel von M 2 (A) sa stark approximiert werden:mitBtC tD t E t ≤ 1 undBtC tD t E t ∗=Btstrong- limBtC t=D t E t 0 TT ∗ 0C t. Offenbar ist dann Ct ≤ 1 undD t E tstrong- lim C t = T.Eine bemerkenswerte Folgerung, die uns auch unserem Ziel - dem Beweis von Satz 3.6.3 ganz nahe bringt, istSatz 3.6.6 (Transitivitätssatz von Kadison). Sei ( , π) topologisch irreduzible Darstellung einer C ∗ -Algebra. Weiterseien gegeben ein Operator T ∈ L( ), ein endlich-dimensionaler Teilraum K von , und ein ɛ > 0. Dann existiertein a ∈ A so, dassπ(a)| K = T| K und ‖a‖ ≤ ‖T‖ + ɛBeweis. Wir zeigen zuerst, dass es unter den Voraussetzungen des Satzes ein Element a ∈ A gibt mit‖a‖ ≤ T|K und π(a)|K − T| K < ɛ (3.6.19)Da ( , π) topologisch irreduzibel ist, folgt aus dem Schur’schen Lemma, dass π(A) ′ = I und damit π(A) ′′ = L( ).Nach dem Bikommutantensatz ist also strong-clos π(A) = L( )Sei o.E.d.A. T|K = 1 und S := T PK (P K ist der Orthoprojektor von auf K, und P K ist kompakt, da K endlichdimensionalist). Nach dem Dichtesatz von Kaplansky finden wir ein A 1 ∈ A mit π(a1 ) ≤ 1 so, dass (π(a1 ) − S)P K < ɛ/2(beachte Kompaktheit von P k ). Dann (↗ Übung) findet man aber auch ein a 2 ∈ A mit π(a 1 ) = π(a 2 ) und a2 ≤(1 − ɛ/2) −1 . Sei a := (1 − ɛ/2)a 2 . Dann ist ‖a‖ ≤ 1 (= T|K ) undDies beweist (3.6.19).Mit Hilfe von (3.6.19) wählen wir nun ein a 0 ∈ A mit (π(a) − T)|K ≤ (π(a1 ) − S)P K + ɛ/2 π(a1 ) < ɛ. a0 ≤ ‖T‖ und (π(a0 ) − T)P K < ɛ/2.Weiter gewinnen wir rekursiv mit Hilfe von (3.6.19) eine Folge von Elementen a n ∈ A mit an < 2 −n n∑ɛ und ( π(a k ) − T))P K < 2 −n−1 ɛ. (3.6.20)k=053