Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

C ∗ -Unteralgebren von L( ), die mit ihren Bikommutatoren übereinstimmen, heißen W ∗ -Algebren. Insbesondere istjede C ∗ -Algebra, die den Voraussetzungen von Satz 3.6.4 genügt, dicht in ihrem Bikommutanten (sowohl bzgl. derstarken als auch der schwachen Topologie). Man kann also z.B. jeden Operator T ∈ A durch ein stark konvergentesNetz von Operatoren aus A annähern. Dieses Netz kann aber unbeschränkt sein (Im Gegensatz zu Folgen müssenkonvergente Netze nicht beschränkt sein.) Diese “Schwäche“ des von Neumannschen Bikommutantensatzes wird imfolgenden Resultat behoben.Satz 3.6.5 (Dichtesatz von Kaplansky). Sei A eine C ∗ -Unteralgebra von L(H) mit ⋂ A∈Aker A = {0}. Dann ist dieEinheitskugel von A sa (= Menge der selbstadjungierten Elemente) stark-dicht in der Einheitskugel von A ′′saund dieEinheitskugel von A ist stark-dicht in der Einheitskugel von A ′′ . Ferner sind auch die positiven Kontraktionen ausA stark-dicht in der Menge der positiven Kontraktionen von A ′′ und, falls A den identischen Operator enthält, dieunitären Elemente aus A liegen stark-dicht in der Menge der unitären Elemente aus A.Beweis. Wir beschränken uns auf den Beweis der ersten beiden Behauptungen. Als Vorüberlegung betrachen wir dieFunktionf : → , t →2tt 2 + 1 .Diese ist stetig auf , ihre Werte liegen in [−1, 1], und sie bildet das Intervall [−1, 1] bijektiv auf sich selbst ab.Für jeden s.a. Operator A ∈ L( ) kann daher f (A) gebildet werden. Aus dem Spektralsatz folgt nun: Für jede C ∗ -Unteralgebra A von L( ) bildet f die Menge A sa in der Einheitskugel von A sa ab, und f bildet die Einheitskugel vonA sa sogar bijektiv auf sich selbst ab. Weiter haben wir für alle A, B, ∈ L(J) die Identität12 (f (A) − f (B)) = (I + A2 ) −1 (A(I + N 2 ) − (I + A 2 )B)(I + B 2 ) −1= (I + A 2 ) −1 (A − B)(I + B 2 ) −1 + (I + A 2 ) −1 A(B − A)B(I + B 2 ) −1= (I + A 2 ) −1 (A − B)(I + B 2 ) −1 + 1 f (A)(B − A)f (B).4Die Faktoren (I + A 2 ) −1 und f (A) sind durch 1 beschränkt. Für jedes x ∈ H ist daher f (A)x − f (B)x ≤ 2 (A − B)(I + B 2 ) −1 x 1 + (A − B)f (B)x .2Dies zeigt, dass f eine stark stetige Funktion auf L( ) sa ist, dh. wenn ein Netz (A t ) t∈T ⊆ L( ) sa stark gegenB ∈ L( ) sa konvergiert, so konvergiert f (A t ) stark gegen f (B).Nun zum Beweis. Wir wollen zeigen, dass die Einheitskugel von A sa stark dicht in der einheitskugel von A ′′saist. SeiT ∈ A ′′saund ‖T‖ ≤ 1. Wie wir oben gesehen haben, gibt es einen (eindeutig bestimmten) Operator R ∈ A′′samit‖R‖ ≤ 1, für den f (R) = T.Nach Satz 3.6.4 gibt es nun ein Netz (A t ) t∈T in A, welches schwach gegen R konvergiert. Da die Abbildung B → B ∗schwach stetig ist (aber eben nicht stark stetig, was uns viel Mühe bereitet) und da R selbstadjungiert ist, folgt:1R = weak- lim t∈T2 (A t + A ∗ t). (3.6.17)Wir benötigen aber ein Netz selbstadjungierter Operatoren, welches stark gegen R konvergiert. Um dieses Problem zulösen, machen wir einige Anleihen in der Funktionalanalysis. Den Beweis der folgenden Aussage findet man z.B. in[Davidson, C ∗ -Algebras by Example, Prop. 1.6.1]:Satz. Sei Hilbertraum. Ein lineares Funktional auf L( ) ist genau dann stark-stetig, wenn es schwach stetig ist.Jedes derartige Funktional ist von der GestaltA →n∑〈Ax i , y i 〉mit gewissen (endlich vielen) Vektoren x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ .i=1Bekanntlich sind abgeschlossene konvexe Mengen gleich dem Durchschnitt der abgeschlossenen Halbräume, die dieseMenge enthalten. Da Halbräume Funktionalen entsprechen, und da schwach-stetige und stark-stetige Funktionale unddamit auch schwach-abgeschlossene und stark-abgeschlossene Halbräume zusammenfallen, haben wir:Satz. Eine konvexe Teilmenge von L( ) ist genau dann stark abgeschlossen, wenn sie schwach abgeschlossen ist.52