Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Satz 3.6.3. Jede topologisch irreduzible Darstellung ( , π) einer C ∗ -Algebra A ist algebraisch irreduzibel.Für den Beweis dieser Aussage müssen wir uns mit Dichtheitsaussagen bzgl. verschiedener Topologien auf L( )befassen. Die folgenden Dichtesätze sind auch darüberhinaus von Interesse (Zitat aus Pedersen, 2.3.4: The densitytheorem is Kaplansky’s great gift to mankind. It can be used every day, and twice on Sundays.) Für jede TeilmengeM von L( ) ( - Hilbertraum) definieren wir ihren Kommutanten M ′ durchM ′ = {B ∈ L(H) : AB = BA∀A ∈ M}.Für M 1 ⊆ M 2 ist offenbar M ′ 2 ⊆ M ′ 1 . Wegen M ⊆ M ′′ impliziert diese Beobachtung:M ⊆ M ′′ = M (4) = M (6) = . . . ,M ′ = M ′′′ = M (5) = M (7) = . . . .Weiter zur ErinnerungDie schwache Operatortopologie ist die schwächste Topologie auf L( ), für die alle Mengen W A,x,y := {B ∈ L( ) :〈(A − B)x, y〉 < 1} offen sind. Alle Mengen der Gestalt ⋂ ni=1 W A i ,x i , y ibilden eine Basis der schwachen Topologie, undein Netz (A t ) t∈T konvergiert genau dann schwach gegen A ∈ L( ), wenn〈A t x, y〉 → 〈Ax, y〉 ∀x, y ∈ Die starke Operatortopologie wird völlig analog durch die Mengen {B ∈ L( ) : ‖(A − B)x‖ < 1} definiert. Ein Netz(A t ) t∈ konvergiert genau dann stark gegen A ∈ L( ), wenn(A t − A)x → 0 ∀x ∈ .Satz 3.6.4 (von Neumanns Satz über den Bikommutanten). Sei A eine C ∗ -Unteralgebra von L( ) mit ⋂ A∈Aker A = 0.Dann gilt:A ′′ = weak-clos A = strong-clos A.Beweis. Die starke Topologie ist stärker als die schwache. Folglich iststrong-clos A ⊆ weak-clos A.Außerdem ist jeder Kommutant schwach abgeschlossen. Da A ⊆ A ′′ , folgt also weak-clos A ⊆ A ′′ . zu zeigen ist alsoA ′′ ⊆ strong-clos A. Dazu zeigen wir, dass es in jeder starken Umgebung eines Operators T ∈ A ′′ einen Operator A ∈ Agibt. Dazu zeigen wir, dass es für jedes n und beliebige Vektoren x 1 , . . . , x n ∈ ein A ∈ A mit ∑ ni=1 (T − A)xi 2< 1gibt (die Mengen {B ∈ L( ) : ∑ ni=1 (B − A)xi 2< 1} bilden nämlich eine Umgebungsbasis für die starke Topologie).Sei zunächst n = 1, und P sei der Orthoprojektor von auf clos (Ax 1 ). Da clos (Ax 1 ) ein invarianter Teilraum für Aist, gilt PA = AP für alle A ∈ A (vgl.(3.6.14)), dh. es ist P ∈ A ′ . Für den Vektor y := (I − P)x 1 und für jedes A ∈ A giltnun:Ay = A(I − P)x 1 = (I − P)Ax 1 = (I − P)PAx 1 = 0.Nach Voraussetzung ist also y = 0, dh. x 1 = P x 1 . Sei nunT ∈ A ′′ . Dann ist P T = T P, woraus folgtT x 1 = T P x 1 = P T x 1 ∈ clos (Ax 1 ).Folglich gibt es ein A ∈ A mit (T − A)x1 < 1.Sei nun n ≥ 2. Wir bezeichnen mit n die direkte Summe von n Exemplaren des Hilbertraumes . Jedem OperatorA ∈ L( n ) kann man sich auf natürliche Weise als n × n-Matrix mit Einträgen in L( ) vorstellen. Mit π bezeichnenwir die Abbildungπ : L(H) → L(H n ), A → diag (A, . . . , A).Offenbar ist π ein injektiver ∗ -Homomorphismus, und man rechnet leicht nach, dassπ(A) ′ = {(B i j ∈ L(H n ) : B i j ∈ A ′ } = (A ′ ) n×n . (3.6.16)Sei nun T ∈ A ′′ und x 1 , . . . , x n vorgegeben. Wegen (3.6.16) liegt π(T) in π(A) ′′ . Wir sind nun in der gleichen Situationwie oben im Fall n = 1 und wenden die obigen Resultate an auf π(A), π(T), n und x := (x 1 , . . . , x n ) an Stelle vonA, T, und x 1 . Was folgt, ist die Existenz eines Operators π(A) ∈ π(A) so, dassbzw‖(π(T) − π(A))x‖ 2 < 1n∑ K=1 (T − A)xK 2< 1.51