Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Für 2 := ⊥1ist P 2 = I − P 1 . Die Beziehung (3.6.14) zeigt also, dass für symmetrisches M mit 1 auch 2invarianter Teilraum ist und dassA = P 1 AP 1 + P 2 AP 2für alle A ∈ MIst nun ( , π) eine Darstellung einer C ∗ -Algebra A und 1 ein abgeschlossener invarianter Teilraum bzgl. π(A), sowerden durchπ 1 : A → L( 1 ), a → π(a)| 1 ,π 2 : A → L( 2 ), a → π(a)| 2zwei Darstellungen ( 1 , π 1 ) und ( 2 , π 2 ) von A geliefert, so dass ( , π) gerade die direkte Summe dieser Darstellungenist. Wir betrachten nun Darstellungen, die nicht auf diese Weise zerlegt werden können.Definition 3.6.1. Eine Darstellung ( , π) einer C ∗ -Algebra A mit π(A) ≠ {0} heißt topologisch irreduzibel, wenn{0} und die einzigen abgeschlossenen und bzgl. π(A) invarianten Teilräume von sind. Die Darstellung heißtalgebraisch irreduzibel, wenn {0} und die einzigen bzgl. π(A) invarianten Teilräume von sind.Satz 3.6.2 (Lemma von Schur). Folgende Aussagen sind äquivalent für eine Darstellung ( , π) einer C ∗ -Algebra mitπ(A) ≠ {0}:(i) ( , π) ist topologisch irreduzibel.(ii) Der Kommutant π(A) ′ := {B ∈ L( ) : Bπ(a) = π(a)B∀a ∈ A} stimmt mit I überein.(iii) Jeder Vektor x ∈ \ {0} ist topologisch zyklisch bzgl. π(A), d.h. clos{π(a)x : a ∈ A} = .Beweis.(i) ⇒ (ii): Sei ( , π) topologisch irreduzibel und B ∈ π(A) ′ . Schreiben wir B als C + iD mit selbstadjungiertenOperatoren C und D. Wegen π(A) ∗ = π(A ∗ ) ist π(A) ′ eine symmetrische Unteralgebra von L( ). Insbesonderegilt also C, D ∈ π(A) ′ .Angenommen σ(C) enthält zwei verschiedene Punkte λ ≠ µ. Mit dem Uryson’schen Lemma wählen wir zweiauf σ(C) stetige Funktionen f und g mit f (λ) = 1, g(µ) = 1, f (x)g(x) = 0 für alle x ∈ σ(C). Dann ist auchf (C)g(C) = 0. (3.6.15)Nun ist (wie man sich leicht klarmacht) π(A) ′ abgeschlossen in L( ). Mit C liegt daher auch g(C) in π(A) ′ .Damit muss clos(g(C) ) ein bzgl. π(A) invarianter abgeschlossener Teilraum von sein. Wegen g(µ) = 1 istg(C) ≠ 0 und folglich clos(g(C) ) ≠ {0}. Da ( , π) topologisch irreduzibel ist, muss also clos(g(C) ) = sein, dh. g(C) ist dicht in . Aus (3.6.15) folgt dann sofort f (C) = 0. Dies steht im Widerspruch zuf (λ) = 1, was f (C) ≠ 0 impliziert. Damit ist klar, dass das Spektrum von C aus genau einem Punkt λ ∈ besteht. Das Spektrum von C − λI ist daher {0}. Da für selbstadjungierte Elemente Norm und Spektralradiusübereinstimmen, ist schließlichAnalog gilt D ∈ I und mithin B ∈ I.0 = r(C − λI) = ‖C − λI‖ bzw C = λI(ii) ⇒(iii): Sei x ∈ \ {0}. Dann ist 1 := clos {π(a)x : a ∈ A} ein bezüglich π(A) invarianter abgeschlossenerTeilraum von . Wegen (3.6.14) liegt der Orthoprojektor P 1 von auf 1 in π(A) ′ . Nach Annahme (ii)ist also P 1 = αI mit α ∈ . Die einzigen Orhoprojektoren der Gestalt αI hat man für α = 0 und α = 1. Imzweiten Fall ist P 1 = I, dh. 1 = .(iii) ⇒ (i): Sei M ≠ 0 invarianter bzgl. π(A) und abgeschlossener Teilraum von H und sei x ∈ M \ {0}. Aus derInvarianz folgt π(a)x ∈ M für jedes a ∈ A, und aus der Abgeschlossenheit von Mclos {π(a)x : a ∈ A} ⊆ M.Nach Annahme (iii) ist aber die linke Seite dieser Inklusion gleich , woraus M = folgt.Offenbar ist jede algebraische irreduzible Darstellung auch topologisch irreduzibel. Es ist bemerkenswert, dass auchdie Umkehrung gilt.50