Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Bemerkung 3.5.4. Ist die Algebra A separabel, so kann als separabler Hilbertraum gewählt werden. Wegen derSeparabilität von A ist nämlich jeder der Räume f = clos{π f (a)x f : a ∈ A}separabel. Ist (a n ) n∈ eine dichte Teilfolge aus A, so wählt man für jedes n eine Darstellung (gemäß Satz 3.5.2) ( n , π n )mit πn (a n ) ⊕= an. Dann ist n separabel und ⊕ ( n , π n ) eine treue Darstellung von A.n∈ n∈Beispiel 3.5.5. Was liefert die GNS-Konstruktion für die Algebra C(X ) der stetigen Funktionen auf einem HausdorffschenKompakt X ? Die positiven Funktionale werden durch folgenden Satz identifiziert:Satz 3.5.6 (Riesz/Markov). Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf C(X ) gibt es ein eindeutig bestimmtes Baire-Maßµ auf X , so dass∫(↗Reed/Simon I, Theorem IV. 14)ϕ(f ) =Xf dµ für alle f ∈ C(X ).Zur Erinnerung: Eine Teilmenge von X heißt G δ -Menge, wenn sie abzählbarer Durchschnitt offener Mengen ist. EineTeilmenge von X heißt Bairemenge (bzw. Borelmenge), wenn sie ein Element der kleinsten σ-Algebra ist, die allekompakten G δ -Mengen (bzw. alle offenen Mengen) enthält. Ein Bairemaß (bzw. Borelmaß) ist ein Maß auf der Mengealler Baire- (bzw. Borel-)mengen mit µ(X ) < ∞. Bairemengen sind Borelmengen und man kann Bairesche Maße auf dieMenge der Borelmengen fortsetzen. Von solchen Fortsetzungen gibt es mehrere; es gibt jedoch genau eine Fortsetzungzu einem regulären Borelmaß. Dabei heißt ein Borelmaß µ regulär, wenn für jede Borelmenge Y gilt:µ(Y ) =inf{µ(O) : Y ⊆ O, O offen}= sup{µ(C) : C ⊆ Y, C kompakt}.Es gibt also eine eindeutige Zuordnung zwischen Baireschen und regulären Borelmaßen.Ist nun ϕ ein positives Funktional auf C(X ) und µ das entsprechende Bairesche (oder reguläre Borel-) Maß, so liefertdie GNS-Konstruktion für ϕ grade den Raum L 2 (X , µ) und π ϕ liefert die Darstellung einer Funktion f ∈ C(X ) alsMultiplikationsoperatorf I : L 2 (X , µ) −→ L 2 (X , µ), a → f a.Als zyklischer Vektor kann die Funktion ξ ϕ (x) = 1 für alle x ∈ X dienen. Umgekehrt initiiert die abstrakte GNS-Konstruktion grade die Konstruktion des Lebesgueraumes L 2 (X , µ) für ein konkretes Maß µ.3.6 Irreduzible DarstellungenSei ein Hilbertraum und M ⊆ L( ). Ein linearer (nicht notwendig abgeschlossener) Teilraum 1 von heißtinvariant bezüglich M, wennA 1 ⊆ 1 für alle A ∈ M.Ist 1 abgeschlossener Teilraum von und P 1 der Orthoprojektor von auf 1 , so ist 1 genau dann invariantfür M, wennFalls M symmetrisch ist, so ist 1 genau dann invariant bezüglich M, fallsAus (3.6.13) folgt nämlich für alle A ∈ Mwährend umgekehrt (3.6.14) offenbar (3.6.13) impliziert.P 1 AP 1 = AP 1 für alle A ∈ M. (3.6.13)P 1 A = AP 1 für alle A ∈ M. (3.6.14)P 1 A = (A ∗ P 1 ) ∗ = (P 1 A ∗ P 1 ) ∗ = P 1 AP 1 = AP 1 ,49