Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beispiel 1.1.5. Ist X ein normierter linearer Raum über , so ist die Menge L(X ) der linearen beschränkten Operatorenauf X eine normierte Algebra bzgl. der üblichen Operationen und der durch die Norm auf X induzierten Operatornorm.Das Einselement von L(X ) ist die identische Abbildung I. Ist X ein Banachraum, so ist L(X ) eine Banachalgebra.Im Falle X = H eines Hilbertraums ist auf L(H) eine Involution A → A ∗ durch〈Ax, y〉 = 〈x, A ∗ y〉für alle x, y ∈ Hdefiniert, die L(H) zu einer Banach-∗-Algebra macht. Wir überlegen uns, dass L(H) sogar eine C ∗ -Algebra ist. Fürbeliebiges A ∈ L(H) gilt:‖A‖ 2 = sup {〈Ax, Ax〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1}= sup 〈x, A ∗ Ax〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1 ≤sup A ∗ Ax : x ∈ H, ‖x‖ = 1= A ∗ A und die umgekehrte Ungleichung ‖A ∗ A‖ ≤ ‖A ∗ ‖ ‖A‖ = ‖A‖ 2 gilt offenbar ebenso. Aus ‖A‖ = ‖A ∗ ‖ folgt somit dasC ∗ -Axiom.Ist X ein Banachraum, so ist mit L(X ) auch jede abgeschlossene Unteralgebra von L(X ) eine Banachalgebra. Ist H einHilbertraum, so ist mit L(H) auch jede abgeschlossene und symmetrische Unteralgebra B von L(H) eine C ∗ -Algebra(symmetrisch heißt: b ∈ B ⇒ b ∗ ∈ B). Wir werden später einen zentralen Satz beweisen, der besagt, dass auch dieUmkehrung dieser Aussage richtig ist:Jede C ∗ -Algebra ist im wesentlichen von dieser Gestalt.Insbesondere bildet die Menge K(X ) der kompakten Operatoren auf einem Banach- bzw- Hilbertraum X eine Banachbzw.C ∗ -Algebra. Falls X unendlich-dimensional ist, besitzt K(X ) kein Einselement.Beispiel 1.1.6. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum (zur Erinnerung: ein topologischer Raum X heißt kompakt,wenn sich aus jeder Überdeckung von X durch offene Mengen eine endliche überdeckung auswählen lässt. X heißtHausdorffsch (oder T 2 -Raum), wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ X offene Umgebungen U x , U y vonx bzw. y mit U x ∩ U y = gibt). Jede stetige komplexwertige Funktion f auf X ist beschränkt (und die Funktionx → f (x) nimmt sogar ihr Supremum auf X an). Die Menge C(X ) aller stetigen komplexwertigen Funktionen,versehen mit punktweisen Operationen, der Supremumsnorm (Maximumsnorm) und der Involutionf ∗ (x) := f (x), x ∈ X (1.1.3)bildet eine kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement x → 1.Ist X ein lokal-kompakter (d.h. jeder Punkt besitzt eine Umgebung, deren Abschließung kompakt ist) Hausdorff-Raum,so bildet die Menge C 0 (x) der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X , die im unendlichen verschwinden, bezüglichpunktweiser Operationen und der Norm (1.1.3) ebenfalls eine C ∗ -Algebra. Diese besitzt kein Einselement, falls X nichtkompakt ist. (Man sagt, dass eine Funktion f : X → im Unendlichen verschwindet, wenn es zu jedem ɛ > 0 einekompakte Menge K ⊆ X so gibt, dass f (x) < ɛ für alle x ∈ X \ K).Wir werden später sehen, dass jede kommutative C ∗ -Algebra von der Gestalt C 0 (X ) mit einem lokal-kompaktenHausdorff Raum X und jede kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement von der Gestalt C(X ) mit einem kompaktenHausdorff-Raum X ist.Beispiel 1.1.7. Sei l 1 () die Menge aller Funktionen f : → mit f1:=∑ f (n) < ∞n∈Aus der Funktionalanalysis ist bekannt, dass l 1 (), versehen mit punktweise Addition und skalarer Multiplikation,sowie mit der Norm ‖·‖ 1 einen Banachraum bildet. Man kann l 1 () auf eine weniger offensichtliche Weise sogarzu einer Banachalgebra machen. Dazu ordnen wir zwei Funktionen f , g ∈ l 1 () ihr Produkt zu, welches in diesemZusammenhang die Faltung von f auf g heißt und mit f ∗ g bezeichnet wird:(f ∗ g)(n) :=∞∑k=−∞f (n − k)g(k)4