Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Somit ist f auf L stetig und f ≤ 1. Weiter ist offenbar f (e) = 1 und daher f = f (e) = 1.Nach Hahn-Banach kann das Funktional f unter Beibehaltung seiner Norm zu einem stetigen Funktional ˜f auf ganzà fortsetzen. Sei g die Einschränkung von ˜f auf A. Dann ist natürlich g ein positives Funktional mit Norm ≤ 1. Ausg(a ∗ a) = ˜f (a ∗ a) = f (a ∗ a) = a ∗ a folgt, dass g = 1 und g(a ∗ a) = ‖a‖ 2 . Damit ist g Zustand von A mit den gewünschten Eigenschaften.Für die zu g gehörende zyklische Darstellung ( g , π g ) mit zyklischem Vektor ξ g gilt nach Satz 3.5.1: ξg 2= g .Daher ist‖a‖ 2 = g(a ∗ a) = 〈π g (a ∗ a)ξ g , ξ g 〉 = 〈π g (a)ξ g , π g (a)ξ g 〉= πg (a)ξ 2g ≤ πg (a) 2 g = πg (a) 2 .Es ist also ‖a‖ ≤ πg (a) und die umgekehrte Ungleichung πg (a) ≤ ‖a‖ folgt aus πg ≤ 1 nach Satz 3.2.6(a).Familien (( t , π t )) t∈T von Darstellungen einer Algebra A können zu einer einzigen Darstellungen von A ”verklebt”werden. Dazu erinnern wir uns an den Begriff der direkten Summe ⊕ t einer Familie ( t ) t∈T von Hilberträument∈T t über einer beliebigen Indexmenge T. Die direkte Summe besteht aus allen Funktionen f : T → ⋃ t , welche imPunkt t ∈ T einen Wert in t annehmen und für die ∑ f 2 := f (t) 2< ∞. (3.5.12) tt∈TDiese Bedingung hat man wie folgt zu verstehen: Die endlichen Teilmengen von T bilden bezüglich der Inklusion ⊆eine gerichtete Menge . Forderung (3.5.12) bedeutet, dass das Netz∑ → , F → f (t) 2 tgegen die endliche Zahl ∑ t∈T f (t) 2konvergiert. Für f , g ∈ ⊕ t t wird durcht∈T〈f , g〉 := limF∈∑t∈Ft∈F〈f (t), g(t)〉 tein Skalarprodukt definiert, welches ⊕ t∈T t zu einem Hilbertraum macht. Ist nun (( f , π f )) t∈T eine Familie vonDarstellungen von A, so kann man eine neue Darstellung ( , π) von A definieren, indem man = ⊕ t∈T t wählt undfür jedes a ∈ A den Operator π(a) auf durcht∈T(π(a)f )(t) = π t (a)f (t),t ∈ Terklärt. Man schreibt dann auch ( , π) = ⊕ t∈T( t , π t ) und nennt ( , π) die direkte Summe der Darstellung(( f , π f )) t∈T .Wir erhalten nun leicht den Beweis des folgenden allgemeinen Satzes von Gelfand und Naimark, welcher aussagt, dasses für jede C ∗ -Algebra eine treue Darstellung gibt.Satz 3.5.3. Jede C ∗ -Algebra A ist isometrisch ∗ -isomorph zu einer C ∗ -Algebra von linearen stetigen Operatoren aufeinem Hilbertraum Beweis. Für jeden Zustand f von A sei ( f , π f ) die nach Satz 3.5.1 konstruierte zyklische Darstellung von A undes sei ( , π) =⊕( t , π t ) die direkte Summe dieser Darstellungen. Für jedes a ∈ A gibt es nach Satz 3.5.2 einf ∈ (A)f ∈ (A) mit ‖a‖ = πf (a) . Folglich ist‖π(a)‖ ≥ πf (a) = ‖a‖ .Andererseits wissen wir aus Satz 3.2.6(a), dass ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖ für jedes a ∈ A ist. Folglich ist π eine Isometrie.48