Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

woraus wegen der Linearität von π fElemente aus A ist, folgt:und f sowie aus der Tatsache, dass jedes b ∈ A Linearkombination positiver〈π f (b)ξ f , ξ f 〉 = f (b) für alle b ∈ ASetzen wir hierin b = u t und beachten (3.5.11), folgtGrenzübergang bzgl. t ∈ T liefert mit Satz 3.3.4〈x ut , ξ f 〉 = f (u t ) für alle t ∈ T〈ξ f , ξ f 〉 = f , d.h. ξf 2= f .Es verbleibt noch die Eindeutigkeit der gefundenen Darstellung nachzuweisen. Sei A eine C ∗ -Algebra, f ein positivesFunktional auf A und ( 1 , π 1 ) sowie ( 2 , π 2 ) seien zyklische Darstellungen von A mit zyklischen Vektoren ξ 1 ∈ 1 ,ξ 2 ∈ 2 , so dassf (a) = 〈π 1 (a)ξ 1 , ξ 1 〉 1 = 〈π 2 (a)ξ 2 , ξ 2 〉 2∀a ∈ AFür alle a ∈ A ist dann π1 (a)ξ 1 2 1= 〈π 1 (a)ξ 1 , π 1 (a)ξ 1 〉 1 = 〈π 1 (a ∗ a)ξ 1 , ξ 1 〉 1 = f (a ∗ a)und analog π2 (a)ξ 2 2= f (a ∗ a). Falls also π 1 (a)ξ 1 = π 1 (b)ξ 1 für zwei Elemente a, b ∈ A gilt, so ist auch π 2 (a)ξ 2 =π 2 (b)ξ 2 . Es ist daher korrekt auf der in 1 dichten Menge {π 1 (a)ξ 1 : a ∈ A} einen Operator U durchzu erklären. Dieser Operator erhält Skalarprodukte:U : π 1 (a)ξ 1 → π 2 (a)ξ 2〈Uπ 1 (a)ξ 1 , Uπ 1 (b)ξ 1 〉 2 = 〈π 2 (a)ξ 2 , π 2 (b)ξ 2 〉 2 = 〈π 2 (b ∗ a)ξ 2 , ξ 2 〉 2= f (b ∗ a) = 〈π 1 (b ∗ a)ξ 1 , ξ 1 〉 1 = 〈π 1 (a)ξ 1 , π 1 (b)ξ 1 〉 1 .Der Operator U kann daher zu einem unitären Operator von 1 auf 2 fortgesetzt werden. Dieser vermittelt dieÄquivalenz von ( 1 , π 1 ) und ( 2 , π 2 ).Das nächste Resultat zeigt, dass eine C ∗ -Algebra immer ”genügend viele”positive Funktionale und zugehörige zyklischeDarstellungen besitzt.Satz 3.5.2. Sei A eine C ∗ -Algebra und a ∈ A. Dann gibt es einen Zustand f von A, so dassf (a ∗ a) = ‖a‖ 2Ist ( f , π f ) die dem Zustand f vermöge Satz 3.5.1 zugeordnete Darstellung, so gilt πf (a) = ‖a‖Beweis. Betrachen wir den linearen TeilraumL := {λe + µa ∗ a : λ, µ ∈ }der Algebra à und definieren auf L ein Funktional f durchf (λe + µa ∗ a) := λ + µ a ∗ a .(Diese Operation ist natürlich korrekt, wenn e und a ∗ a linear unabhängig sind. Anderfalls vereinfacht sich der Beweisnur ↗ H.A.) Wegen a ∗ a ≥ 0 ist ‖a ∗ a‖ ∈ σ(a ∗ a) und aus dem Satz von Gelfand-Naimark für kommutative C ∗ -Algebrenfolgt für alle λ, µ ∈ λ + µ a ∗ a ≤ sup{ λ + µt : t ∈ σ(a ∗ a)} = λe + µa ∗ a .47