Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

und analog f (k ∗ j) = 0. Also ist f ((j + k) ∗ (j + k)) = 0, d.h. j + k ∈ J f . Weiter ist für jedes a ∈ A : a ∗ a ≤ ‖a ∗ a‖ e (hierist e das Einselement in Ã), und nach Satz 3.1.4(ii) ist j ∗ a ∗ a j ≤ ‖a ∗ a‖ j ∗ j für alle j ∈ J f .Da f positiv ist, folgt0 ≤ f ((a j) ∗ (a j)) = f (j ∗ a ∗ a j) ≤ f ( a ∗ a j ∗ j) ≤ ‖a‖ 2 f (j ∗ j) = 0,d.h. es ist a j ∈ J f für alle j ∈ J f .Bilden wir den (linearen) Faktorraum A/J f , dessen Elemente die Nebenklassen x a := a + J f der Elemente aus A sind.Auf A/J f definieren wir〈x a , x b 〉 := f (b ∗ a) ∀a, b ∈ A (3.5.10)Wir zeigen im nächsten Schritt, dass diese Definition korrekt ist und eine positiv-definite Sesquiliniarform auf A/J fliefert.Seien a, b ∈ A und j, k ∈ J f , dann istf ((b + k) ∗ (a + j)) = f (b ∗ a) + f (b ∗ j) + f (k ∗ a) + f (k ∗ j).Mit Cauchy-Schwarz sieht man wie oben, dass die letzten drei Summanden verschwinden. Also istf ((b + k) ∗ (a + j)) = f (b ∗ a),die rechte Seite von (3.5.10) und damit von der konkreten Wahl der Repräsentanten der Nebenklassen x a , x b unabhängig.Die Sesquilinearität von (3.5.10) ist nun offensichtlich, ebenso wie die positive Definitheit: aus f (a ∗ a) = 0 folgt nämlichlaut Definition a ∈ J f d.h. x a = 0. Wegen der Positivität von f ist schließlich f (a ∗ a) ≥ 0∀a ∈ A.Sei f die Vervollständigung von A/J f bezüglich der durch das Skalarprodukt (3.5.10) definierte Norm. f wird aufnatürliche Weise zu einem Hilbertraum, dessen Skalarprodukt wir mit 〈·, ·〉 oder 〈·, ·〉 fbezeichnen.Erklären wir nun für jedes a ∈ A einen Operator π f (a) auf dem dichten Teilraum A/J f von f durch π f (a)x b := x ab .Für jedes j ∈ J f ist offenbar x a(b+j) = x ab+a j = x ab . Damit ist die Definition korrekt und sie liefert einen linearenOperator auf A/J f . Weiter ist πf (a)x 2b = 〈xab , x ab 〉 = f (b ∗ a ∗ ab) ≤ a ∗ a f (b ∗ b) = ‖a‖ 2 A x 2b fd.h. π f (a) ist auf A/J f stetig und πf (a) ≤ ‖a‖. Wir können daher πf (a) stetig zu einem auf ganz f definiertenOperator fortsetzen, den wir wieder mit π f (a) bezeichnen. Die so erklärte Abbildung π f : A −→ L( f ) ist ein∗ -Homomorphismus. Es ist nämlichπ f (a)π f (b)x c = x a(bc) = x (ab)c = π f (ab)x c ∀a, b, c ∈ A.Also stimmen π f (a)π f (b) und π f (ab) auf einem dichten Teilraum von f überein, woraus die Multiplikativität vonfolgt. Die Symmetrie erhält man ähnlich aus der für alle a, b, c ∈ A gültigen Identitätπ f〈π f (a)x b , x c 〉 = 〈x ab , x c 〉 = f (c ∗ ab) = f ((a ∗ c) ∗ b)= 〈x b , x a ∗ c〉 = 〈x b , π f (a ∗ )x c 〉,woraus π f (a) ∗ = π f (a ∗ ) folgt.Also ist ( f , π f ) eine Darstellung von A. Wir zeigen nun, dass diese zyklisch ist. Sei (u t ) t∈T approximative Eins inA. Für alle s < t ist xut − x 2us = f ((ut − u s ) 2 ) ≤ f (u t − u s ),und wegen limt∈Tf (u t ) = f (Satz 3.3.4) konvergiert das Netz (xut ) t∈T in f . Sein Grenzwert sei ξ f . Für jedes a ∈ Aist dannπ f (a)ξ f = limt∈Tπ f (a)x ut = limt∈Tx aut = x a (3.5.11)(Stetigkeit des Operators π f (a) ∈ L( f ) sowie des kanonischen Homomorphismus a → x a ). Da die Menge {x a } a∈Adicht in f liegt, ist ξ f ein zyklischer Vektor und (H f , π f ) zyklische Darstellung von A. Schließlich ist für alle a ∈ A〈π f (a ∗ a)ξ f , ξ f 〉 = 〈π f (a)ξ f , π f (a)ξ f 〉 (3.5.11)= 〈x a , x a 〉 = f (a ∗ a),46