Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

3.4 DarstellungenDefinition 3.4.1. Eine Darstellung einer C ∗ -Algebra A ist ein Paar ( , π), bestehend aus einem Hilbertraum undeinem ∗ -Homomorphismus π von A in L( ).Eine Darstellung ( , π) von A heißt treu (faithful), wenn ker π = {0}. Ist ( , π) eine treue Darstellung, so ist Aisometrisch ∗ -isomorph zu einer C ∗ -Unteralgebra von L( ). Für jede C ∗ -Algebra A istπ : A −→ L( ), a → 0eine Darstellung; die sogenannte ”triviale” Darstellung. Der ”triviale” Teil einer Darstellung wird durch den Unterraum 0 := {x ∈ : π(a)x = 0 ∀a ∈ A}von charakterisiert. Darstellungen mit 0 = {0} heißen nicht-entartet. Schließlich nennen wir eine Darstellung( , π) von A zyklisch, wenn es einen Vektor x ∈ gibt, so dass die Menge {π(a)x : a ∈ A} dicht in liegt. DerVektor x heißt dann auch (topologisch) zyklisch.Lemma 3.4.2. Zyklische Darstellungen sind nicht entartet.Beweis. Sei π(a)y = 0 für alle a ∈ A und x ∈ sei ein zyklischer Vektor für ( , π). Dann gibt es eine Folge (a n ) ⊆ A,so dass lim π(a n )x = y. Weiter sei (u t ) t∈T eine approximative Eins in A. Für alle n ∈ und t ∈ T gilt dann y ≤≤ y − π(an )x + π(an )x − π(u t a n )x + π(ut a n )x − π(u t )y y − π(an )x + ‖π‖ an − u t a n ‖x‖ + π(ut ) π(an )x − y ≤ 2 y − π(an )x + an − u t a n ‖x‖ .Für vorgegebenes ɛ > 0 wählen wir ein n, so dass y − π(an )x < ɛ/4 und dann ein t so, dass an − u t a n 0, d.h. y = 0.Ist ( 1 , π 1 ) eine Darstellung von A und 2 ein weiterer Hilbertraum, für den ein unitärer Operator U von 1 auf 2 existiert, so ist ( 2 , π 2 ) mitɛ2‖x‖ .π 2 (a) = Uπ 1 (a)U ∗ ∀a ∈ A (3.4.9)eine weitere Darstellung von A. Zwei Darstellungen ( 1 , π 1 ), ( 2 , π 2 ) von A heißen unitär äquivalent, wenn es einenunitären Opterator U : 1 −→ 2 gibt, so dass (3.4.9) erfüllt ist. Unitär äquivalente Darstellungen werden in derRegel nicht voneinander unterschieden.3.5 Die GNS-KonstruktionDie folgende Konstruktion geht auf Gelfand/Naimark (1943) und Segal (1947) zurück.Satz 3.5.1. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein positives Funktional auf A. Dann gibt es eine zyklische Darstellung( f , π f ) mit einem zyklischen Vektor ξ f ∈ f , so dass ξf 2= f undf (a) = 〈π f (a)ξ f , ξ f 〉 ffür alle a ∈ ADiese Darstellung ist eindeutig bis auf unitäre Äquivalenzen.Beweis. Im ersten Schritt zeigen wir, dass die MengeJ f := {j ∈ A : f (j ∗ j) = 0}ein Linksideal von A ist. Seien j, k ∈ J f . Dann ist (j + k) ∗ (j + k) = j ∗ j + k ∗ k + j ∗ k + k ∗ j. Nach Definition ist f (j ∗ j) =f (k ∗ k) = 0. Mit Cauchy-Schwarz folgt weiter f (j ∗ k) 2 ≤ f (j ∗ j)f (k ∗ k) = 0, d.h. f (j ∗ k) = 045