Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

zw.2βn f + β 2 + α 2 − ɛ ≤ 2 f 2Wegen f > 0 impliziert dies β = 0. Das Funktional f ist also symmetrisch.Sei nun a ∈ A ein positives Element mit ‖a‖ = 1. Dann ist für jedes t ∈ T das Element u t − a selbstadjungiertund daher (wie soeben gezeigt) f (u t − a) reell. Folglich istf (u t − a) ≤ f ut − a bzw.f (u t − a) ≤ ut − u t a + u t a − a f ≤ ( ut − u t a + ut a − a ) f (3.3.8)Nun ist ut − a ≤ 1 für alle t. Um dies einzusehen, betten wir nötigenfalls A in eine C ∗ -Algebra à mitEinselement e isometrisch ein. Dann ist ut − u t a A= ut − u t a Ã= ut e − u t a ÃWir können also (3.3.8) weiter abschätzen durch≤ utÃ‖e − a‖à ≤ utA≤ 1f (u t ) − f (a) ≤ (1 + ut a − a ) f Grenzübergang bzgl. t ∈ T liefert f − f (a) ≤ f , d.h. f (a) ≥ 0Folgerung 3.3.5. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins e. Dann sind folgende Aussagen äquivalent für ein lineares Funktionalf auf A:(i) f ist positiv(ii) f ist stetig und f = f (e)und auch die folgenden Aussagen sind äquivalent(iii) f ist Zustand(iv) f ist stetig und f = f (e) = 1Beweis. Die Äquivalenz von (i) und (ii) folgt sofort aus Satz 3.3.4, wenn wir als approximative Eins die konstanteFolge (e) n∈ wählen. Die Äquivalenz von (iii) und (iv) ist eine unmittelbare Folge von (i)⇔(ii).Folgerung 3.3.6. Die Menge S(A) der Zustände einer C ∗ -Algebra mit Eins ist konvex und ∗ -schwach kompakt.Beweis. Seien f , g ∈ S(A) und µ ∈ [0, 1]. Dann ist µ f + (1 − µ)g ein stetiges Funktional mit (µf + (1 − µ)g)(e) =µ + (1 − µ) = 1 sowie µ f + (1 − µ)g ≤ µ f + (1 − µ) g ≤ 1Wegen (µ f +(1−µ)g)(e) = 1 und ‖e‖ = 1 folgt schließlich µ f + (1 − µ)g ≥ 1. Nach Folgerung 3.3.5 ist µ f +(1−µ)gein Zustand.Sei noch (f t ) t∈T ein Netz von Zuständen, welches ∗ -schwach gegen ein Funktional f ∈ A ′ mit f ≤ 1 konvergiert.Nach Definition der ∗ -schwachen Konvergenz ist dann für jedes a ∈ A0 ≤ f t (a ∗ a) −→ f (a ∗ a),d.h. f ist positiv und weiter1 = f t (e) −→ f (e),d.h. f = 1 und f (e) = 1. Also ist f ∈ S(A), d.h. S(A) ist abgeschlossene Teilmenge der (nach Banach-Alaoglu)∗ -schwach kompakten Einheitskugel von A ′ .S(A) heißt der Zustandsraum von A.44