Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Satz 3.3.4. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein lineares Funktional auf A. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:(i) f ist positiv.(ii) f ist stetig und für jede approximative Eins (u t ) t∈T von A gilt limt∈Tf (u t ) = f .(iii) f ist stetig und es gibt eine approximative Eins (u t ) t∈T von A mit limt∈Tf (u t ) = f .Beweis.(i) ⇒ (ii): Positive Funktionale sind stetig (Satz 3.3.2). Sei (u t ) t∈T approximative Eins von A. Dann ist t → f (u t )ein monoton wachsendes Netz von T in + , welches wegen f (u t ) = f (ut ) ≤ f nach oben beschränkt ist.Folglich existiert der Grenzwert α := lim f (u t ), und es ist 0 ≤ α ≤ f . Falls f = 0, so ist auch α = 0, und est∈Tist nichts mehr zu zeigen. Sei f ≠ 0. Nach Cauchy Schwarz ist für alle a ∈ A mit ‖a‖ ≤ 1 f (ut a) 2 ≤ f (u 2 t )f (a∗ a) ≤ f (u t ) f (3.3.5)(beachte, dass u 2 t ≤ u t da u t ≥ 0 und ut ≤ 1). Grenzübergang bezüglich t ∈ T in (3.3.5) liefert f (a) 2≤ α f für alle a ∈ A mit ‖a‖ ≤ 1und damit f 2 = sup f (a) 2 ≤ α f bzw. f ≤ α‖a‖≤1(ii) ⇒ (iii): Das ist leicht.(iii) ⇒ (i): Sei f stetig und (u t ) t∈T approximative Eins mit f (u t ) → f . Für f = 0 ist nichts weiter zu zeigen.Sei also f ≠ 0. Wir zeigen zuerst, dass f symmetrisch ist. Dafür genügt es zu zeigen, dass f selbstadjungierteElemente in reelle Zahlen überführt.Sei a ∈ A selbstadjungiert und ‖a‖ = 1. Wir schreiben f (a) als α + iβ mit α, β ∈ und nehmen o.E.d.A. an,dass β ≥ 0 (andernfalls ersetzen wir a durch −a).Für jedes n ∈ finden wir ein t n ∈ T so, dassFür alle t ≻ t n ist dannWeiter haben wir nach Voraussetzung ut a − au t 0 findet man daher ein t ɛ so, dass(n f + β) 2 + α 2 − ɛ ≤ f (nut − ia) 2 für alle t ≻ t ɛ (3.3.7)Wir wählen nun zu gegebenem n ∈ und ɛ > 0 ein t ∈ T, welches sowohl größer als t n als auch größer als t ɛist. Für dieses t gilt nach (3.3.6) und (3.3.7):(n f + β) 2 + α 2 − ɛ ≤ f (nut − ia) 2≤ f 2 nut − ia 2 ≤ (n 2 + 2) f 2Wir erhalten also die für alle n ∈ und ɛ > 0 gültige Ungleichung(n f + β) 2 + α 2 − ɛ ≤ (n 2 + 2) f 243