Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein positives Funktional auf A. Hat A ein Einselement, so bezeichnen wir es mite. Anderfalls sei e das Einselement von Ã. Wir zeigen zuerst, dass f auf der Menge M := {a ∈ A : 0 ≤ a ≤ e} beschränktist. Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es eine Folge (x n ) ⊂ M mit f (x n ) → ∞. Sei (α n ) n∈ ⊂ + eine beliebige Folge∞∑aus l 1 . Wir betrachten das Element x := α n x n (beachte: Reihe konvergiert absolut). Für jedes m ∈ istund daher istn=1n=1m∑α n x n ≤ xn=1m∑m∑f ( α n x n ) = α n f (x n ) ≤ f (x).Wegen f (x n ) ≥ 0 folgt hieraus die Konvergenz der Reihen=1∞∑α n f (x n ). Da α n ∈ l 1 beliebig war, muss notwendig(f (x n )) n∈ ∈ l ∞ sein (l ∞ ist der duale Raum zu l 1 ). Dies ist Widerspruch zu unserer Annahme. Es gibt also ein C > 0mit f (x) ≤ C für alle x ∈ M. Sei nun x ein selbstadjungiertes Element mit ‖x‖ ≤ 1. Dann ist x = x + − x − mit positivenElementen x + und x − . Aus x + ≤ |x| ≤ e und x − ≤ |x| ≤ e folgt x ± ∈ M und somit f (x) ≤ f (x+ ) + f (x− ) ≤ 2C.Ist schließlich x ∈ A ein beliebiges Element mit ‖x‖ ≤ 1, so haben wir wegen 1 (x ± x ∗ ) ≤ 12Also ist f stetig mit f ≤ 4C.n=1 f (x) ≤ f ( 1 2 (x + x ∗ )) + f ( 1 2 (x − x ∗ )) ≤ 4C.Satz 3.3.3. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein positives Funktional auf A. Dann gilt(i) f (a ∗ b) 2 ≤ f (a ∗ a)f (b ∗ b) für alle a, b ∈ A(Cauchy-Schwarz)(ii) f ist symmetrisch, d.h. f (a ∗ ) = f (a) für alle a ∈ ABeweis.(i) Für beliebige a, b ∈ A und λ ∈ ist (a + λb) ∗ (a + λb) ≥ 0 (s. Satz 3.1.2(ii)) und daherf ((a + λb) ∗ (a + λb)) = |λ| 2 f (b ∗ b) + λf (b ∗ a) + λf (a ∗ b) + f (a ∗ a) ≥ 0 (3.3.3)Für λ = 1 bzw. λ = i erhält man insbesonderef (a ∗ b) + f (b ∗ a) ∈ bzw. i(f (a ∗ b) − f (b ∗ a)) ∈ .Hieraus folgt sofort (Nachrechnen!)f (a ∗ b) = f (b ∗ a) (3.3.4)Im Falle f (a ∗ b) = 0 gilt die zu beweisende Ungleichung offenbar. Sei also f (a ∗ b) ≠ 0. Wir ersetzen λ in (3.3.3)durch µf (a ∗ b)/ f (b ∗ a) , wobei µ ∈ . Dann geht (3.3.3) über inµ 2 f (b ∗ b) + 2µ f (a ∗ b) + f (a ∗ a) ≥ 0.Da dies für beliebiges µ ∈ gilt, muss f (a ∗ b) 2 ≤ f (a ∗ a)f (b ∗ b) sein.(ii) Sei (u t ) t∈T approximative Eins für A. Aus (3.3.4) folgt für alle a ∈ Af (a ∗ u t ) = f (u ∗ t a) = f (u t a).Wir nehmen auf beiden Seiten den Limes limt∈Tund beachten, dass f nach (Satz 3.3.2) stetig ist. Wir erhaltendann f (a ∗ ) = f (a) für alle a ∈ A42