Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Satz 3.2.6. Seien A, B C ∗ -Algebren und W : A → B ein ∗-Homomorphismus. Dann gilt(i) W ist stetig und ‖W ‖ ≤ 1.(ii) Ist W injektiv, so ist W Isometrie.(iii) W (A) ist abgeschlossen in B und folglich eine C ∗ -Unteralgebra von B.Beweis.(i) Dies ist Satz 1.4.16(ii) Angenommen W ist keine Isometrie. Dann gibt es ein b ∈ A mit ‖b‖ = 1 und ‖W (b)‖ < 1 (beachte Teil (i)). Füra := b ∗ b ist dann ‖a‖ = 1 und ‖W (a)‖ = 1 − ɛ mit einem ɛ ∈ (0, 1]. Wir wählen eine Funktion f ∈ C[0, 1] mitf (1) = 1 und f (x) = 0 für alle x ∈ [0, 1−ɛ]. Mit dem stetigen Funktionalkalkül definieren wir f (a) als Elementder kleinsten abgeschlossenen Unteralgebra à a von Ã, welche a und e enthält. Wegen σ(f (a)) = f (σ(a)) und1 ∈ σ(f (a)) und daher insbesondere f (a) ≠ 0. Nun liegt wegen der speziellen Wahl von f das Element f (a)aber bereits in A (↗ Übung). Es ist daher W (f (a)) ≠ 0 (da anderenfalls W nicht injektiv wäre), und folglichenthält σ(W (f (a))) wenigstens einen Punkt ≠ 0. Nun ist aber W (p(a)) = p(W (a)) für jedes Polynom undfolglich W (f (a)) = f (W (a)) (Streng genommen müssen wir hierfür W auf à oder wenigstens à a fortsetzen.Dies kann man wie im Beweis von Satz 1.4.16). Hieraus und aus dem Spektralsatz erhalten wir:σ(W (f (a))) = σ(f (W (a))) = f (σ(W (a))) ⊂ f ([0, 1 − ɛ]) = {0}.(iii) Der Kern von W ist ein abgechlossenes Ideal von A, und A/ ker W ist eine C ∗ -Algebra. Der HomomorphismusW induziert einen ∗-HomomorphismusW π : A/ ker W → B, a + ker W → W (a),dessen Bild mit dem von W übereinstimmt und der injektiv ist. Nach (ii) ist W π eine Isometrie. Hieraus folgtdie Abgeschlossenheit von Im W = Im W π . Die übrigen Aussagen sind leicht zu sehen.Satz 3.2.7. Sei A eine C ∗ -Algebra, B C ∗ -Unteralgebra von A und J abgechlossenes Ideal von A. Dann ist B + J (=algebraische Summe !) die kleinste C ∗ -Unteralgebra von A, welche B und J umfasst.Beweis. Offenbar ist B+ J die kleinste symmetrische Unteralgebra von A die B und J enthält. Die Abgeschlossenheitvon B + J erhalten wir so: Sei π : A → A/J der kanonische Homomorphismus. Nach Satz 3.2.6 ist π(B) in A/Jabgeschlossen. Dann ist aber auch π −1 (π(B)) = B + J abgeschlossen.3.3 Positive Funktionale und ZuständeSei A eine C ∗ -Algebra. Ein lineares Funktional f : A → heißt postiv, wenn f (a) ≥ 0 für alle positiven a ∈ A. Einstetiges (vgl. Satz 3.2.3 unten) positives Funktional f auf A heißt Zustand, wenn f = 1.Beispiel 3.3.1. Sei Hilbertraum und A symmetrisch und abgeschlossene Unteralgebra von L( ). Für jedes x ∈ ist dannA x : A → , A → 〈Ax, x〉 (3.3.2)ein positives Funktional auf A. Jeder positive Operator A ∈ A ist nämlich das Quadrat eines selbstadjungiertenOperator B (s. Lemma 3.1.1), und daher ist〈Ax, x〉 = 〈B 2 x, x〉 = 〈Bx, Bx〉 ≥ 0.Gehört I zu A und ist ‖x‖ = 1, so ist A x sogar ein Zustand von A. Zustände dieser Gestalt heißen Vektorzustände.Ist A eine kommutative C ∗ -Algebra, so ist jeder Charakter von A ein positives Funktional, und falls A ein Einslementbesitzt, sogar ein Zustand.Die positiven Funktionale in diesen Beispielen sind stetig. Dies ist kein Zufall.Satz 3.3.2. Positive Funktionale auf C ∗ -Algebren sind stetig41