Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

und genauso erhält man w ≥ v . Daher ist T eine gerichtete Menge in A + . Wir betrachten nun die identische Abbildungvon T nach A und zeigen, dass dieses Netz eine approximative Eins ist. Eigenschaften (i), (ii) sind offenbar erfüllt.Zeigen noch (iii). Da jedes a ∈ A Linearkombination positiver Elemente ist, genügt es, lim ‖a − ua‖ = 0 für alle a ≥ 0u∈Tzu zeigen. Weiter gilt nach Satz 3.1.4 für alle a ≥ 0 und alle u ∈ T:‖(e − u)a‖ 2 C ∗ −Axiom= a(e − u) 2 a ≤ ‖a(e − u)a‖ ,so dass es genügt, limu∈T‖a(e − u)a‖ = 0 zu zeigen. Nun fällt für jedes feste a ≥ 0 die FunktionT → + , u → ‖a(e − u)a‖monoton laut Satz 3.1.4. Es genügt daher zu zeigen, dass für jedes ɛ > 0 ein u ɛ ∈ T mit a(e − uɛ )a ≤ ɛ ‖a‖zu finden. Dies ist leicht möglich : Für alle a ≥ 0 und ɛ > 0 ist e + 1 a invertierbar. Daher ist das Elementɛwohldefiniert und liegt in T. Für dieses Element istworaus, wie gewünscht, a(e − uɛ )a ≤ ɛ ‖a‖ folgt.u ɛ := (e + 1 ɛ a)−1 1 ɛ a = e − (e + 1 ɛ a)−1a(e − u ɛ )a = a(e − (e + 1 ɛ a)−1 1 ɛ a)a = (e + 1 ɛ a)−1 a 2= (e + 1 1 ɛ a)−1 a · ɛa ≤ ɛa,ɛSatz 3.2.4. Sei K abgechlossenes Ideal einer C ∗ -Algebra A. Dann ist J symmetrisch.Beweis. Sei J abgeschlossenes Ideal von A. Dann ist B := J ∩J ∗ eine C ∗ −Unteralgebra von A (beachte, dass JJ ∗ , J ∗ J ⊆B). Nach Satz 3.2.3 gibt es eine approximative Eins {u t } t∈T in B. Für jedes j ∈ J ist dann limj ∗ − j ∗ u 2t = lim (j − ut j)(j ∗ − j ∗ u t ) = lim (j j ∗ − j j ∗ u t ) − u t (j j ∗ − j j ∗ u t ) = 0t∈T t∈T t∈TDa u t zu B ⊆ J gehört und J ein abgeschlossenes Ideal ist, folgt j ∗ ∈ J.Satz 3.2.5. Sei J abgeschlossenes Ideal einer C ∗ -Algebra A. Wir definieren auf A/J Operationen und Norm wie obenInvolution durch (a + J) ∗ := a ∗ + J. Dann ist A/J eine C ∗ -Algebra.Beweis. Wegen Satz 3.2.4 ist die Involution korrekt definiert. Wir zeigen zuerst: Ist {u t } t∈T approximative Eins in J,so gilt für jedes a ∈ A inf a + j = lim a − ut a . (3.2.1)t∈Tj∈JDurch Übergang zu à und mit der Beobachtung, dass j − ut j → 0 und e − ut ≤ 1, überlegt man sich leicht, dassfür jedes a ∈ A und j ∈ J giltlim sup a − ut a = lim sup (e − ut )(a + j) ≤ a + j t∈Tt∈TErinnerung: lim sup und lim inf sind für Netze analog zu Folgen erklärt durchlim sup u t = limt∈Tsupt∈T s≻tu t und lim inft∈Tu t = limt∈Tinfs≻t u t.Nun liefert der Übergang zum Infimum über alle j ∈ J (da u t a ∈ J) inf a + j ≥ lim sup a − ut a ≥ lim inf a − ut a ≥ inf a + j .j∈Jt∈Tt∈Tj∈JDamit ist (3.2.1) gezeigt. Aus (3.2.1) folgt nun für alle a ∈ A und j ∈ JWir nehmen das Infimum über alle j ∈ J und erhalten‖a + J‖ = limt∈T a − ut a 2 = limt∈T (a − ut a)(a − u t a) ∗ = limt∈T (e − ut )(aa ∗ + j)(e − u t ) ≤ aa ∗ + j .‖a + J‖ 2 ≤ aa ∗ + J ≤ ‖a + J‖ a ∗ + J .Also ist A/J eine C ∗ -Algebra (vgl. 2 Übung, Aufgabe 4 d).40