Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Als Anwendung zeigen wir noch ein Resultat über die Polarzerlegung invertierbarer Elemente in C ∗ -Algebren.Satz 3.1.5. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins. Dann kann jedes invertierbare Element a ∈ A eindeutig geschrieben werdenals a = ur mit u unitär und r ≥ 0.Beweis. Mit a ist auch aa ∗ invertierbar. Außerdem ist a ∗ a ≥ 0 und nach Satz 3.1.4(iii) auch (a ∗ a) −1 ≥ 0. Hiraus folgtdie Invertierbarkeit von |a| = (a ∗ a) 1/2 sowie die Beziehung |a| −1 = ((a ∗ a) −1 ) 1/2 . Sei u := a |a| −1 . Dann istuu ∗ = a |a| −1 |a| −1 a ∗ = a(a ∗ a) −1 a ∗ = aa −1 (a ∗ ) −1 a ∗ = esowieu ∗ u = |a| −1 a ∗ a |a| −1 = |a| −1 |a| 2 |a| −1 = e,d.h. u ist unitär und r := u −1 a = |a| ≥ 0. Die Polardarstellung ist eindeutig. Aus a = ur folgt notwendiga ∗ a = r ∗ u ∗ ur = r ∗ r, also r = (a ∗ a) 1/2Damit sind r und wegen der Invertierbarkeit von r auch u eindeutig bestimmt.3.2 Homomorphismen, Ideale und Quotienten von C ∗ -AlgebrenWir sehen uns nun Homomorphismen und Ideale von C ∗ -Algebren genauer an und werden Resultate kennenlernen,die das Arbeiten mit C ∗ -Algebren so angenehm machen. Auch haben wir noch einige Lücken (z.b. wann ist A/J wiederC ∗ -Algebra) zu schließen. Zunächst benötigen wir eine Definition.Definition 3.2.1. Sei A eine C ∗ -Algebra, T gerichtete Menge. Ein Netz {u t } t∈T ⊂ A T heißt approximative Eins, wenngilt(i) ut ≤ 1 für alle t ∈ T.(ii) s ≺ t → u s ≤ u t .(iii) limt∈T a − aut = 0 für alle a ∈ A.Offensichtlich gilt dann auch limt∈T a − ut a = 0 für alle a ∈ A.Beispiel 3.2.2. Hat A ein Einselement e, so ist die konstane Folge (e) ∞ n=1eine approximative Eins in A. Für ein zweitesBeispiel sei A = K(H) die C ∗ -Algebra der kompakten Operatoren auf einem separablen Hilbertraum H. Ist e 1 , e 2 , . . .eine Orthonormalbasis von H und P n der Orthoprojektor von H auf der linearen Hülle von {e 1 , . . . , e n }, so ist (P n ) ∞ n=1approximative Eins in K(H).Satz 3.2.3 (Segal). Jede C ∗ -Algebra besitzt eine approximative Eins.Beweis. Sei A eine C ∗ -Algebra. Hat A ein Einselement, so ist die Behauptung klar (vgl. Beispiel). Anderfalls adjungierenwir ein Einselement e zu A und müssen garantieren, dass die approximative Eins in der ursprünglichen Algebragefunden werden kann. Sei T = {a ∈ A + : ‖a‖ < 1}. T ist eine gerichtete Menge bzgl. ≥. Wir wissen nämlich bereits,dass ≥ eine partielle Ordnung ist und müssen noch die Induktivität von ≥ zeigen. Seien u, v ∈ T. Nach Gelfand-Naimark sind dann a := (e − u) −1 u sowie b := (e − v ) −1 v positive Elemente. Nach Satz 3.1.2(i) ist a + b ≥ 0, underneute Anwendung von Gelfand-Naimark zeigt, dassw := (e + a + b) −1 (a + b) ∈ T.(beachte : a, b ∈ A wegen Neumann-Reihe ⇒ a + b ∈ A ⇒ (e + a + b) −1 (a + b) ∈ A da A Ideal in der Erweiterung Ã)Nach Satz 3.1.4(iii) aus Kapitel 3.1 istw = (e + a + b) −1 (a + b) = (e + a + b) −1 (e + a + b) − (e + a + b) −1= e − (e + a + b) −1 ≥ e − (e + a) −1 = e − (e + (e − u) −1 u) −1= e − ((e − u) −1 ) −1 = u,39