Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

1 Grundlagen1.1 Definitionen und Beispiele für AlgebrenDefinition 1.1.1 (Algebra). Ein komplexer Vektorraum A mit einer bilinearen AbbildungA × A → A, (a, b) → ab (1.1.1)heißt Algebra, wenn(ab)c = a(bc)für alle a, b, c ∈ A• Wir nennen die Abbildung (1.1.1) Multiplikation und ab das Produkt der Elemente a, b ∈ A.• Eine Teilmenge einer Algebra A heißt Unteralgebra von A, wenn sie bezüglich der in A erklärten Operationenebenfalls eine Algebra ist.• Eine Algebra A heißt kommutativ, wenn ab = ba für alle a, b ∈ A.• Eine Algebra heißt unital (oder Algebra mit Einselement), wenn es ein Element e ∈ A gibt, mit ae = ea = afür alle a ∈ A. Wenn es ein solches Element gibt, so ist es eindeutig bestimmt und heißt Einselement von A.Definition 1.1.2 (Banachalgebra). Eine Algebra A heißt normiert, wenn auf dem unterliegenden Vektorraum eine Normgegeben ist, die folgende Eigenschaft erfüllt:‖ab‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖für alle a, b ∈ AIst A bezüglich dieser Norm vollständig, heißt A Banachalgebra.Lemma 1.1.3. In einer normierten Algebra ist die Multiplikation stetig.Beweis. Aus a n → a und b n → b folgt an b n − ab = an b n − ab n + ab n − ab ≤ an − a bn + ‖a‖ bn − b Da die Folge bn beschränkt ist, folgt die Behauptung.Definition 1.1.4. Eine Algebra A heißt Algebra mit Involution, wenn sie mit einer Abbildung A → A, a → a ∗ versehenist, so dass gilt:• (a ∗ ) ∗ = a• (λa + µb) ∗ = λa ∗ + µb ∗• (ab) ∗ = b ∗ a ∗für alle a ∈ Afür alle a, b ∈ A und λ, µ ∈ für alle a, b ∈ AIn einer involutiven Algebra gilt 0 ∗ = 0, in einer involutiven Algebra mit Eins e gilt e = e ∗ .Eine Banachalgebra A mit Involution heißt Banach-∗-Algebra, wenn a∗ = ‖a‖ für alle a ∈ A (1.1.2)Gilt in einer Banachalgebra mit Involution sogar aa∗ = ‖a‖2für alle a ∈ Aso heißt A C ∗ -Algebra. Das C ∗ -Axiom impliziert die Aussage (1.1.2).3