Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis.(i) Die Abgeschlossenheit zeigt man leicht mit (iii) und (iv) von Lemma 3.1.1 (↗HA). Ebenso ist klar, dassλA + ⊆ A + für alle λ ≥ 0. Seien nun a, b ∈ A + . Nach Lemma 3.1.1(iii) ist dann‖(‖a‖ + ‖b‖)e − (a + b)‖ = ‖(‖a‖ e − a) + (‖b‖ e − b)‖≤ ‖(‖a‖ e − a)‖ + ‖(‖b‖ e − a)‖≤ ‖a‖ + ‖b‖ ,woraus mit Lemma 3.1.1(iv) folgt: a+ b ∈ A + . Ist schließlich a ∈ A + ∩(−A + ), so liegt σ(a) in [0, ∞)∩[0, −∞) ={0}. Aus r(a) = 0 und a = a ∗ folgt aber ‖a‖ = 0, also a = 0.(ii) Die Richtung ⇒ ist die Implikation (i)⇒(ii) aus Lemma 3.1.1. Sei umgekehrt a = b ∗ b. Dann ist a = a ∗ , undwie in Kapitel 2.3 gezeigt, gibt es positive Elemente a + , a − ∈ A so, dass a = a + − a − . Wir wollen zeigen, dassa − = 0. Für c := ba 1/2−ist zunächstc ∗ c = a 1/2− b∗ ba 1/2− = a1/2 − (a + − a − )a 1/2− = −a2 − ∈ −A +.Mit c = x + i y, x, y selbstadjungiert, rechnet man leicht nach, dasscc ∗ = 2(x 2 + y 2 ) − c ∗ c,und dieses Element liegt in A + nach Teil (i) dieses Satzes. Nun wissen wir aber, dass sich die Spektren vonc ∗ c und cc ∗ höchstens um {0} unterscheiden können (Aufgabe 2 aus Übung 2). Aus σ(c ∗ c) ⊆ (−∞, 0] undσ(c ∗ c) ⊆ [0, ∞) folgt daher σ(c ∗ c) = {0}. Also ist σ(−a 2 − ) = {0}, und da a − selbstadjungiert ist, folgt schliesslicha − = 0 und a = a + .Beispiel 3.1.3. Ist X kompakter Hausdorffraum, so ist f ∈ (X ) genau dann positiv, wenn f (x) ≥ 0 für alle x ∈ X . IstH Hilbertraum, so ist A ∈ L(H) genau dann positiv, wenn 〈Ax, x〉 ≥ 0 für alle x ∈ X . (↗ Übung)Wir definieren in der Menge der selbstadjungierten Elemente von A eine Relation ≥ durch ”a ≥ b falls a − b ≥ 0”. DaA + ein Kegel ist und A + ∩ (−A + ) = {0}, ist ≥ eine partielle Ordnung, und es gilt⎫a ≥ a⎬a ≥ b, b ≥ a ⇒ a = b⎭a ≥ b, b ≥ c ⇒ a ≥ cWir fassen einige Eigenschaften dieser Relation zusammen.Satz 3.1.4. Seien a, b, c Elemente einer C ∗ -Algebra. Dann gilt(i) a ≥ b ≥ 0 ⇒ ‖a‖ ≥ ‖b‖.(ii) a ≥ b ≥ 0 ⇒ c ∗ ac ≥ c ∗ bc ≥ 0.∀a, b, c ∈ Aselbstadjungiert.(iii) Besitzt die Algebra ein Einselement, ist a ≥ b ≥ 0, und sind a und b invertierbar, so ist b −1 ≥ a −1 ≥ 0.Beweis. Falls die Algebra kein Einselement besitzt, erweitern wir sie zu einer C ∗ -Algebra mit Eins e (siehe Kapitel1.3).(i) Aus dem Satz von Gelfand-Naimark folgt ‖a‖ e ≥ a und damit ‖a‖ e ≥ b. Erneute Anwendung des Satzes vonGelfand-Naimark liefert ‖a‖ e ≥ ‖b‖ e bzw. ‖a‖ ≥ ‖b‖.(ii) Wählen d so, dass a − b = d ∗ d (vgl. Satz 3.1.2(b)). Dann istWieder nach Satz 3.1.2(ii) ist c ∗ ac − c ∗ bc ≥ 0.c ∗ ac − c ∗ bc = c ∗ d ∗ dc = (dc) ∗ (dc).38