3 Darstellungstheorie für C ∗ -<strong>Algebren</strong>Wir beginnen nun mit einer systematischen Untersuchung von nicht notwendig kommutativen C ∗ -<strong>Algebren</strong>.3.1 Positive Elemente <strong>und</strong> OrdnungEin selbstadjungiertes Element a einer C ∗ -Algebra A heisst positiv (in Zeichen a ≥ 0), wenn σ(a) ⊆ + := [0, ∞). DieMenge aller positiven Elemente aus A bezeichnen wir mit A + .Lemma 3.1.1 (Satz von Gelfand-Naimark). Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement. Folgende Aussagen für a ∈ A sindäquivalent:(i) a ist positiv.(ii) a = b 2 mit einem selbstadjungierten Element b ∈ A.(iii) a = a ∗ <strong>und</strong> µe − a ≤ µ für alle µ ≥ ‖a‖.(iv) a = a ∗ <strong>und</strong> µe − a ≤ µ für ein µ ≥ ‖a‖.Beweis.(i) ⇔ (ii): Ist a positiv, so kann man b := a 1 2 setzen (↗ stetiger Funktionalkalkül) <strong>und</strong> erhält a = b 2 mit einemselbstadjungierten b. Ist umgekehrt a = b 2 mit b = b ∗ , so liegt σ(b) in nach Satz 1.5.8(ii) <strong>und</strong> demzufolgeσ(a) = σ(b 2 ) = σ(b) 2 ⊆ + . Da a = a ∗ , folgt a ≥ 0.(i) ⇒ (iii): Nach Satz 1.4.13 ist r(b) = ‖b‖ für alle normalen Elemente b ∈ A. Insbesondere gilt für b := µe − a mitµ ≥ ‖a‖ µe − a = r(µe − a) = sup |λ| : λ ∈ σ(µe − a) = sup |λ − µ| : λ ∈ σ(a) ≤ µ(iii) ⇒ (iv): ist offensichtlich.(iv) ⇒ (i): Für alle λ ∈ σ(a) ist µ − λ ∈ σ(µe − a) <strong>und</strong> daher|µ − λ| ≤ µe − a ≤ µ.Wegen |λ| ≤ ‖a‖ ≤ µ folgt hieraus λ ≥ 0, dh. σ(a) ⊆ + .Satz 3.1.2.(i) Die Menge A + ist abgeschlossen, <strong>und</strong> es giltλA + ⊆ A + für λ ≥ 0, A + + A + ⊆ A + <strong>und</strong> A + ∩ (−A + ) = {0}.(ii) Ein Element a ∈ A ist genau dann positiv, wenn a = b ∗ b mit einem b ∈ A.Die Äquivalenz in (ii) kennt man erst seit den Arbeiten von Kaplansky <strong>und</strong> Kelley/Vaught von 1953. In den frühenArbeiten von Gelfand tritt die Forderungb ∗ b ≥ 0für alle b ∈ Anoch als (nunmehr überflüssiges) Axiom auf.37
Beweis.(i) Die Abgeschlossenheit zeigt man leicht mit (iii) <strong>und</strong> (iv) von Lemma 3.1.1 (↗HA). Ebenso ist klar, dassλA + ⊆ A + für alle λ ≥ 0. Seien nun a, b ∈ A + . Nach Lemma 3.1.1(iii) ist dann‖(‖a‖ + ‖b‖)e − (a + b)‖ = ‖(‖a‖ e − a) + (‖b‖ e − b)‖≤ ‖(‖a‖ e − a)‖ + ‖(‖b‖ e − a)‖≤ ‖a‖ + ‖b‖ ,woraus mit Lemma 3.1.1(iv) folgt: a+ b ∈ A + . Ist schließlich a ∈ A + ∩(−A + ), so liegt σ(a) in [0, ∞)∩[0, −∞) ={0}. Aus r(a) = 0 <strong>und</strong> a = a ∗ folgt aber ‖a‖ = 0, also a = 0.(ii) Die Richtung ⇒ ist die Implikation (i)⇒(ii) aus Lemma 3.1.1. Sei umgekehrt a = b ∗ b. Dann ist a = a ∗ , <strong>und</strong>wie in Kapitel 2.3 gezeigt, gibt es positive Elemente a + , a − ∈ A so, dass a = a + − a − . Wir wollen zeigen, dassa − = 0. Für c := ba 1/2−ist zunächstc ∗ c = a 1/2− b∗ ba 1/2− = a1/2 − (a + − a − )a 1/2− = −a2 − ∈ −A +.Mit c = x + i y, x, y selbstadjungiert, rechnet man leicht nach, dasscc ∗ = 2(x 2 + y 2 ) − c ∗ c,<strong>und</strong> dieses Element liegt in A + nach Teil (i) dieses Satzes. Nun wissen wir aber, dass sich die Spektren vonc ∗ c <strong>und</strong> cc ∗ höchstens um {0} unterscheiden können (Aufgabe 2 aus Übung 2). Aus σ(c ∗ c) ⊆ (−∞, 0] <strong>und</strong>σ(c ∗ c) ⊆ [0, ∞) folgt daher σ(c ∗ c) = {0}. Also ist σ(−a 2 − ) = {0}, <strong>und</strong> da a − selbstadjungiert ist, folgt schliesslicha − = 0 <strong>und</strong> a = a + .Beispiel 3.1.3. Ist X kompakter Hausdorffraum, so ist f ∈ (X ) genau dann positiv, wenn f (x) ≥ 0 für alle x ∈ X . IstH Hilbertraum, so ist A ∈ L(H) genau dann positiv, wenn 〈Ax, x〉 ≥ 0 für alle x ∈ X . (↗ Übung)Wir definieren in der Menge der selbstadjungierten Elemente von A eine Relation ≥ durch ”a ≥ b falls a − b ≥ 0”. DaA + ein Kegel ist <strong>und</strong> A + ∩ (−A + ) = {0}, ist ≥ eine partielle Ordnung, <strong>und</strong> es gilt⎫a ≥ a⎬a ≥ b, b ≥ a ⇒ a = b⎭a ≥ b, b ≥ c ⇒ a ≥ cWir fassen einige Eigenschaften dieser Relation zusammen.Satz 3.1.4. Seien a, b, c Elemente einer C ∗ -Algebra. Dann gilt(i) a ≥ b ≥ 0 ⇒ ‖a‖ ≥ ‖b‖.(ii) a ≥ b ≥ 0 ⇒ c ∗ ac ≥ c ∗ bc ≥ 0.∀a, b, c ∈ Aselbstadjungiert.(iii) Besitzt die Algebra ein Einselement, ist a ≥ b ≥ 0, <strong>und</strong> sind a <strong>und</strong> b invertierbar, so ist b −1 ≥ a −1 ≥ 0.Beweis. Falls die Algebra kein Einselement besitzt, erweitern wir sie zu einer C ∗ -Algebra mit Eins e (siehe Kapitel1.3).(i) Aus dem Satz von Gelfand-Naimark folgt ‖a‖ e ≥ a <strong>und</strong> damit ‖a‖ e ≥ b. Erneute Anwendung des Satzes vonGelfand-Naimark liefert ‖a‖ e ≥ ‖b‖ e bzw. ‖a‖ ≥ ‖b‖.(ii) Wählen d so, dass a − b = d ∗ d (vgl. Satz 3.1.2(b)). Dann istWieder nach Satz 3.1.2(ii) ist c ∗ ac − c ∗ bc ≥ 0.c ∗ ac − c ∗ bc = c ∗ d ∗ dc = (dc) ∗ (dc).38