Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

3 Darstellungstheorie für C ∗ -AlgebrenWir beginnen nun mit einer systematischen Untersuchung von nicht notwendig kommutativen C ∗ -Algebren.3.1 Positive Elemente und OrdnungEin selbstadjungiertes Element a einer C ∗ -Algebra A heisst positiv (in Zeichen a ≥ 0), wenn σ(a) ⊆ + := [0, ∞). DieMenge aller positiven Elemente aus A bezeichnen wir mit A + .Lemma 3.1.1 (Satz von Gelfand-Naimark). Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement. Folgende Aussagen für a ∈ A sindäquivalent:(i) a ist positiv.(ii) a = b 2 mit einem selbstadjungierten Element b ∈ A.(iii) a = a ∗ und µe − a ≤ µ für alle µ ≥ ‖a‖.(iv) a = a ∗ und µe − a ≤ µ für ein µ ≥ ‖a‖.Beweis.(i) ⇔ (ii): Ist a positiv, so kann man b := a 1 2 setzen (↗ stetiger Funktionalkalkül) und erhält a = b 2 mit einemselbstadjungierten b. Ist umgekehrt a = b 2 mit b = b ∗ , so liegt σ(b) in nach Satz 1.5.8(ii) und demzufolgeσ(a) = σ(b 2 ) = σ(b) 2 ⊆ + . Da a = a ∗ , folgt a ≥ 0.(i) ⇒ (iii): Nach Satz 1.4.13 ist r(b) = ‖b‖ für alle normalen Elemente b ∈ A. Insbesondere gilt für b := µe − a mitµ ≥ ‖a‖ µe − a = r(µe − a) = sup |λ| : λ ∈ σ(µe − a) = sup |λ − µ| : λ ∈ σ(a) ≤ µ(iii) ⇒ (iv): ist offensichtlich.(iv) ⇒ (i): Für alle λ ∈ σ(a) ist µ − λ ∈ σ(µe − a) und daher|µ − λ| ≤ µe − a ≤ µ.Wegen |λ| ≤ ‖a‖ ≤ µ folgt hieraus λ ≥ 0, dh. σ(a) ⊆ + .Satz 3.1.2.(i) Die Menge A + ist abgeschlossen, und es giltλA + ⊆ A + für λ ≥ 0, A + + A + ⊆ A + und A + ∩ (−A + ) = {0}.(ii) Ein Element a ∈ A ist genau dann positiv, wenn a = b ∗ b mit einem b ∈ A.Die Äquivalenz in (ii) kennt man erst seit den Arbeiten von Kaplansky und Kelley/Vaught von 1953. In den frühenArbeiten von Gelfand tritt die Forderungb ∗ b ≥ 0für alle b ∈ Anoch als (nunmehr überflüssiges) Axiom auf.37