Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Satz 2.4.6. Ein Operator T(f ) + K ∈ T( ) ist genau dann Fredholmsch, wenn f (t) ≠ 0 für alle t ∈ .Darüberhinaus hat man für Fredholmsche Toeplitzoperatoren mit stetiger Erzeugerfunktion auch eine bequeme Möglichkeit,den Indexind T(a) := dim ker T(a) − dim(l 2 ( + )/ Im T(a))zu bestimmen. Dazu benötigen wir ein Resultat über stetige Funktionen von nach .Satz 2.4.7. Sei f ∈ () und f (t) ≠ 0 für alle t ∈ . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl n ∈ und eineFunktion ϕ ∈ C() so, dass f (t) = t n e ϕ(t) ∀t ∈ .Die Zahl n heisst die Windungszahl von f . Sie beschreibt anschaulich, wie oft sich die Kurve t → a(t) um den Nullpunktwindet, wenn man sie mit der durch induzierten Orientierung versieht und Windungen im Gegenuhrzeigersinn zählt.Satz 2.4.8.(i) Ist T(f ) + K ∈ T( ) ein Fredholmoperator, so istind(T(f ) + K) = − wind f .(ii) Ein Toeplitzoperator T(f ) ist genau dann invertierbar, wenn er Fredholmsch ist und ind T(f ) = 0 ist.Beweise findet man z.B. in den bereits zitierten Büchern von Böttcher/Silbermann und Douglas. Aussage (ii) vonSatz 2.4.8 gilt sogar für beliebiges f ∈ L ∞ (). Die Tatsache, dass ind T(f ) = 0 bereits die Invertierbarkeit von T(f )impliziert, ist eine Besonderheit bei Toeplitzoperatoren.36