Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Satz 2.4.4. K(l 2 ( + )) ⊆ T( ).Beweis. Sei P n : l 2 ( + ) → l 2 ( + ), (x 0 , x 1 , . . .) → (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 , 0, 0, . . .). Offenbar gilt P n = P ∗ n→ I stark und daher Pn K P n − K → 0 für jeden kompakten Operator K. Es genügt daher zu zeigen, dass Pn K P n ∈ T( ) für jedes K ∈ K(l 2 )und jedes n. Ist (k i j ) n−1i,j=0 die Matrixdarstellung von P nK P n | Im Pn bzgl. der Standardbasis von l 2 ( + ), so istP n K P n =∑n−1i,j=0k i j V i P 1 V − j .(Nachrechnen!)Nun ist aber P 1 = I − V 1 V −1 , und die Operatoren V 1 , V −1 sind Toeplitzoperatoren mit den erzeugenden Funktionenχ 1 (t) = t bzw. χ −1 (t) = t −1 . Hieraus folgt sofort die Behauptung.Mit diesen Resultaten erhält man leicht eine komplette Beschreibung der Algebra T( ).Satz 2.4.5. T( ) = {T(a) + K : a ∈ (), K ∈ K(l 2 ( + ))}.Beweis. Wir bezeichnen die rechte Seite der zu beweisenden Identität mit A. Aus Satz 2.4.4 folgt sofort A ⊆ T( ).Für die umgekehrte Inklusion zeigen wir, dass A eine abgeschlossene Unteralgebra von L(l 2 ( + )) ist. Seien a, b stetigund K, L kompakt. Dann istund(T(a) + K) + (T(b) + L) = T(a + b) + (K + L) ∈ A(T(a) + K)(T(b) + L) = T(a)T(b) + K T(b) + T(a)L + K L= T(ab)−H(a)H(˜b) + K T(b) + T(a)L + K L ∈ A(2.4.16)da der unterstrichene Teil nach Satz 2.4.3(ii) kompakt ist. Also ist A eine Algebra. Sei nun (T(a m ) + K m ) m≥1 einenormkonvergente Folge von Operatoren aus A. Aus Satz 2.4.3(i) schliessen wir, dass dann (T(a m )) m≥1 eineCauchyfolge in L(l 2 ) ist, und aus Satz 2.4.2(b), dass (a m ) m≥1 Cauchyfolge in () ist. Da () vollständig ist,gibt es eine Funktion a ∈ () mit an − a ∞→ 0. Aus der Abschätzung T(an − a) ≤ an − a ∞folgt dann T(an ) − T(a) → 0, und aus Kn − K m ≤ T(an ) + K n − T(a m ) − K m + T(an ) − T(a m ) folgt, dass (K n ) Cauchyfolge in K(l 2 ( + )) ist. Diese Folge konvergiert, und ihr Grenzwert K ist kompakt, da K(l 2 ( + ))abgeschlossen ist. Nunmehr ist klar, dass(T(an) + K n ) − (T(a) + K) → 0,dh. lim(T(a n ) + K n ) ∈ A, und A ist abgeschlossen.Wie angekündigt, interessieren wir uns für die Fredholmeigenschaften von Operatoren aus T( ), dh. dafür, wann dieNebenklasse A+ K(l 2 ) in L(l 2 )/K(l 2 ) invertierbar ist. Da K(l 2 ) ⊆ T( ), können wir auch T( )/K(l 2 ) bilden, und diesist eine abgeschlossene Unteralgebra von L(l 2 )/(K(l 2 )). Diese Unteralgebra ist wieder eine C ∗ -Algebra (dies haben wirnoch nicht allgemein bewiesen; wir werden dies aber schnell nachholen). Wegen der inversen Abgeschlossenheit vonC ∗ -Algebren ist A ∈ T( ) also genau dann ein Fredholmoperator, wenn A + K(l 2 ) in T( )/K(l 2 ) invertierbar ist.Diese Algebra ist aber kommutativ! Dies folgt sofort aus (2.4.16):(T(a) + K(l 2 ))(T(b) + K(l 2 )) = T(ab) + K(l 2 )= T(ba) + K(l 2 ) = (T(b) + K(l 2 ))(T(a) + K(l 2 )).Wir können daher T( )/K(l 2 ) komplett beschreiben, wenn wir ihren Raum der maximalen Ideale und die Wirkungder Gelfandtransformation identifizieren können. Dazu betrachten wir die Abbildungπ : () → T( )/K(l 2 ), f → T(f ) + K(l 2 ).Man rechnet sofort nach, dass π ein ∗ -Homomorphismus ist (dies ist im wesentlichen wieder (2.4.16)). Aus Satz 2.4.5folgt die Surjektivität von π, und die Injektivität bekommen wir aus Satz 2.4.3(a). Dieser liefert nämlich‖T(a)‖ = T(a) + K(l 2 ) (sogar für a ∈ L ∞ ()).Ist also π(f ) = T(f ) + K(l 2 ) = 0, so ist T(f ) = 0 und nach Satz 2.4.2(ii) auch f = 0. Die Abbildung π ist also ein∗ -Isomorphismus. Aus Satz 1.4.16, angewandt auf π und auf die Umkehrabbildung π −1 folgt schließlich, dass π sogareine Isometrie ist. Dh. () ∼ = T( )/K(l 2 )isometrisch ∗ -isomorph.Damit ist auch klar, dass M(T( )/K(l 2 )) homöomorph zu M( ()) ∼ = ist und dass bei dieser Identifizierung dieGelfandtransformation von T(a) + K(l 2 ) gerade die Funktion a ∈ () ist. Fazit:35