Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Für die Normen hat man wegen (2.4.12) und (2.4.13)‖T(a)‖ ≤ ‖L(a)‖ ≤ ‖a‖ ∞ sowie ‖H(a)‖ ≤ ‖L(a)‖ ≤ ‖a‖ ∞ . (2.4.14)Diese Abschätzungen genügen zwar für viele Anwendungen bereits. Andererseits lassen sich diese Normen exaktbestimmen.Satz 2.4.2. Sei a ∈ L ∞ (). Dann ist(i) ‖L(a)‖ = ‖a‖ ∞ .(ii) (Brown/Halmos) ‖T(a)‖ = ‖a‖ ∞ .(iii) (Nehari) ‖H(a)‖ = dist L ∞ ()(a, H ∞ ).H ∞ steht hier für die Menge aller Funktionen aus L ∞ (), die sich analytisch in das äußere des Einheitskreises fortsetzenlassen (Beispiel: f (t) = t −1 ). Beweise findet man in [Böttcher/Silbermann], Analysis of Toeplitz operators, Theorem2.7 und 2.11.Unser Ziel sind Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren T(f ) mit stetiger Erzeugerfunktion f , dh. die Frage,wann die Nebenklasse T(f )+K(l 2 ) in der Calkinalgebra L(l 2 )/K(l 2 ) invertierbar ist. Dazu untersuchen wir die kleinsteabgeschlossene Unteralgebra T( ) von L(l 2 ), welche alle Toeplitzoperatoren T(f ) mit f ∈ () enthält. WegenT(f ) ∗ = T(f ), und da mit f auch f stetig ist, ist T( ) bereits eine C ∗ -Algebra.Wir bereiten die Untersuchung von T( ) mit zwei Kompaktheitsaussagen vor. Die erste dieser Aussagen unterstreichtzudem die völlig unterschiedliche Natur von Toeplitz- bzw. Hankeloperatoren.Satz 2.4.3.(i) Für alle a ∈ L ∞ ()und K ∈ K(l 2 ( + )) gilt‖T(a)‖ ≤ ‖T(a) + K‖ .Insbesondere ist T(a) genau dann kompakt, wenn a ≡ 0.(ii) Für a ∈ () ist H(a) kompakt.Beweis.(i) Wir betrachten die Verschiebungsoperatoren V 1 und V −1 auf l 2 ( + ) mit V 1 (x 0 , x 1 , . . . ) = (0, x 0 , x 1 , . . . ) sowieV −1 (x 0 , x 1 , x 2 , . . . ) = (x 1 , x 2 , x 3 , . . . ). Für n ∈ sei V n := (V 1 ) n , V −n := (V −1 ) n . Wegen Vn =V−n = 1 ist dann V−n (T(a) + K)V n ≤ ‖T(a) + K‖ . (2.4.15)Nun ist V −n T(a)V n = T(a), und man überprüft sofort, dass V −n → 0 stark und dass V ∗ n = V −n. Folglich konvergiertV −n KV n in der Norm gegen 0. Lassen wir also in (2.4.15) n → ∞ laufen, folgt sofort die erste Behauptung von(i). Die zweite Behauptung ist eine unmittelbare Konsequenz der ersten.(ii) Ist zunächst a(t) = a −n t −n + . . . + a n t n ein trigonometrisches Polynom, so ist⎛⎞a 1 · · · a n 0. . ..H(a) =. ⎜a ..n ⎟⎝.⎠0..offenbar ein Operator mit endlich-dimensionalem Bild und folglich kompakt. Nun kann jede stetige Funktion aauf gleichmäßig durch trigonometrische Polynome p n approximiert werden. Aus H(a) − H(pn ) ≤ a − pn∞→ 0,der Kompaktheit von H(p n ) und der Abgeschlossenheit von K(l 2 ) folgt die Behauptung.34