Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Bei L(a) und T(a) sind also die Einträge konstant entlang von Parallelen zur Hauptdiagonalen, bei H(a) zur ”Nebendiagonalen”.Am einfachsten ist die Untersuchung der Laurentoperatoren. Jede Funktion a ∈ L ∞ () definiert wegen a f2≤ ‖a‖ ∞ f2∀f ∈ L 2 ()einen stetigen Multiplikationsoperator aI auf L 2 (). Die Matrixdarstellung von aI bezüglich der Basis (e n ) n∈ , e n (t) =t n , von L 2 () ist gerade L(a):〈ae k , e j 〉 = 1 ∫ 2π2π= 12π0∫ 2π0a(e ix )e ikx e −i jx d xa(e ix )e −i(j−k)x d x = a j−k .Da Laurentoperatoren nichts anderes als Matrixdarstellungen von Multiplikationsoperatoren sind, folgt sofortfür beliebige Funktionen a, b ∈ L ∞ () sowieL(a + b) = L(a) + L(b), L(ab) = L(a)L(b), L(a) ∗ = L(a) (2.4.11)‖L(a)‖ L(l 2 ( + )) = ‖aI‖ L(L 2 ()) ≤ ‖a‖ ∞ (2.4.12)Toeplitz- und Hankeloperatoren lassen sich als ”Bausteine” von Laurentoperatoren auffassen. Dazu sei l 2 2 (+ ) dieMenge aller Paare (x, y) von Elementen aus l 2 ( + ), versehen mit der NormDie Abbildung J : l 2 () → l 2 2 (+ ), (x, y) := (‖x‖ 2 + y 2)12 .(. . . , x −3 , x −2 , x −1 , x 0 , x 1 , x 2 , . . . ) → ((x −1 , x −2 , x −3 , . . . ), (x 0 , x 1 , x 2 , . . . ))ist eine bijektive Isometrie, und es gilt T(ã)J L(a)J −1 =H(a)Lemma 2.4.1. Für a, b ∈ L ∞ () gilt: H(ã)T(a)mit ã(t) = a(1|t). (2.4.13)(i) T(ab) = T(a)T(b) + H(a)H(˜b),H(ab) = T(a)H(b) + H(a)T(˜b).(ii) T(a) ∗ = T(a), H(a) ∗ = H(ã).Beweis. Nach (2.4.13) istJ L(ab)J −1 T( ab)=˜H(ab)H( ab) ˜ T(ab)und andererseits T(ã)J L(ab)J −1 = J L(a)J −1 J L(b)J −1 =H(a)T(ã)T(˜b) + H(ã)H(b)=H(a)T(˜b) + T(a)H(b) H(ã) T(˜b) H(˜b)T(a) H(b) T(b)T(ã)H(˜b) + H(ã)T(b)H(a)H(˜b) + T(a)T(b)Ein Vergleich der entsprechenden Einträge liefert Aussage (i), und (b) folgt analog aus T(ã)J L(a) ∗ J −1 =H(a) ∗ H(ã) T(ã)∗H(a) ∗ =T(a) H(ã) ∗ T(a) ∗ , J L(a)J −1 =T(ã)H(a)H(ã)T(a)33