Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beispiel 2.3.6. Hier wollen wir uns folgende Aussage überlegen:Jedes Element einer C ∗ -Algebra A mit Eins e ist eine Linearkombination von höchstens 4 unitären Elementen.Beweis. Jedes Element a ∈ A ist Linearkombination zweier selbstadjungierter Elemente:a = 1 2 (a + a∗ ) + 1 2i (i(a − a∗ ))Durch Wahl der Koeffizienten lässt sich außerdem erreichen, dass die Normen dieser selbstadjungierten Elemente ≤ 1sind.Wir zeigen noch, dass sich jedes selbstadjungierte Element a mit ‖a‖ ≤ 1 als Linearkombination zweier unitärerElemente schreiben lässt. Aus a = a ∗ und ‖a‖ ≤ 1 folgt σ(a) ⊆ [−1, 1], und der Spektralsatz (1) liefert σ(e − a 2 ) ⊆[0, 1]. Da x → x 1 2 auf [0, 1] stetig ist, ist das Element u := a + i(e − a 2 ) 1 2 wohldefiniert. Man rechnet leicht nach, dassu ∗ = a − i(e − a 2 ) 1 2 = u −1 und demzufolge a Linearkombination zweier unitärer Elemente ist: a = 1 2 (u + u∗ ).So elegant der stetige Funktionalkalkül für normale Elemente ist, so lässt er dennoch Wünsche offen, vor allem imHinblick auf den Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren. Um dies kurz anzudeuten, sei H einseparabler unendlich-dimensionaler Hilbertraum mit Orthonormalbasis (e i ) ∞ i=0, und a : {0, 1, 2, ...} → sei beschränkteFolge. Dann wird durch∞∑Ax := a i 〈x, e i 〉e i , x ∈ Hi=0ein linearer beschränkter und normaler Operator definiert, dessen Spektrum gleich clos a() ist (HA).Ist E ⊆ abgeschlossen, so heißt der Operator∑P E x := 〈x, e i 〉e i , x ∈ Hi:a i ∈Eder Spektralprojektor zur Menge E. Dies ist ein Orthogonalprojektor auf H, der mit A vertauscht, und für ihn gilt:σ(A| Im PE ) = clos(E ∩ a()) ⊆ EEr filtert aus H also den Teil heraus, auf dem das Spektrum von A in E liegt. Man kann P E in der Regel nicht als f (A)mit f ∈ (σ(A)) darstellen. Da P E Projektor ist, ist sein Spektrum in {0, 1} enthalten. Eine Funktion f : σ(a) → ,die die beiden Werte 0,1 und nur diese annimmt, kann aber nicht stetig sein, falls σ(a) zusammenhängend ist. Möchteman also (alle) Spektralprojektoren von A als Funktionen von A schreiben, muss man die Einschränkung auf stetigeFunktionen fallenlassen.2.4 Fredholmeigenschaften von ToeplitzoperatorenWir führen nun eine Klasse von Operatoren ein, die sich gut untersuchen lässt und die uns im weiteren oft alsIllustration dienen wird.Sei a ∈ L ∞ (). Für k ∈ sei a k der k. Fourierkoeffizient von a:a k = 1 ∫ 2πa(e ix )e −ikx d x.2π0Definieren dann den durch a erzeugten Laurentoperator L(a) auf l 2 (), Toeplitzoperator T(a) auf l 2 ( + ) und HankeloperatorH(a) auf l 2 ( + ) über ihre Matrixdarstellungen bzgl. der Standardbasen von l 2 () bzw. l 2 ( + ):⎛⎞. .. . .. . .. . .. . ... .. .a0 a −1 a ..⎛−2 . .. .a1 aL(a) :=0 a ..−1 , T(a) :=. .. .a2 a 1 a ..⎜0 ⎝.⎜ .. .a3 a 2 a ..1 ⎟⎝. .. . .. . .. . .. .⎠ ..a 0 a −1 · · ·a 1 a 0 · · ·a 2 a 1 · · ·..⎞ ⎛⎟ , H(a) :=⎜. ⎠ ⎝..a 1 a 2 · · ·a 2 a 3 · · ·a 3 a 4 · · ·..⎞⎟. ⎠ ..32