Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis. Für λ ∈ σ(a) definieren wir g : G → durchg(z) := f (z)−f (λ)falls z ≠ λz−λf ′ (λ) falls z = λ .Die Funktion g ist holomorph auf G. Wäre nun f (λ) /∈ σ(f (a)), so würde ausg(a)(a − λe) = f (a) − f (λ)edie Invertierbarkeit von a − λe folgen. Dieser Widerspruch zeigt, dass f (σ(a)) ⊆ σ(f (a)).Ist umgekehrt µ /∈ f (σ(a)), so ist die Funktion g(z) := 1f (z)−µ holomorph in einer Umgebung ˜G von σ(a), und g(a)ist erklärt. Wir haben dann g(a)(f (a) − µe) = e, d.h. µ /∈ σ(f (a)).Mit Satz 2.3.1 kann man beispielsweise a 1 2 definieren, falls σ(a) ⊆ [1, ∞) ist, nicht jedoch im Falle σ(a) = [0, 1].Wir schließen die Betrachtung des allgemeinen Falles mit folgender Beobachtung ab:Satz 2.3.3 (Shilov). Sei a ∈ A und σ(a) = σ 1 ∪ σ 2 mit abgeschlossenen nichtleeren und disjunkten Mengen σ 1 , σ 2 .Dann existiert ein Projektor p in A (d.h. ein Element mit p 2 = p) so, dass(i) ab = ba ⇒ bp = pb.(ii) Für a 1 := ap, a 2 := a(e − p) gilt a = a 1 + a 2 und a 1 a 2 = a 2 a 1 = 0.(iii) σ(a i ) = σ i ∪ {0}.Für den Beweis sucht man sich offene Umgebungen G 1 von σ 1 bzw. G 2 von σ 2 mit G 1 ∩ G 2 = und wählt fürf : G 1 ∪ G 2 =: G → die Funktion1 z ∈ G 1f (z) =0 z ∈ G 2Diese ist holomorph auf G, und das Element p := f (a) ist gerade das Gesuchte.Wesentlich verallgemeinern lässt sich dieses Funktionalkalkül für normale Elemente aus C ∗ -Algebren. Ein einfachesUmschreiben von Satz 2.2.5 liefert nämlich sofort:Satz 2.3.4. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement, und a ∈ A sei normal. Dann existiert ein isometrischer ∗ -IsomorphismusΦ : C(σ(a)) auf−→ C ∗ (a) ⊆ A.Klar: Φ ist gerade die Inverse zur Gelfand-Transformation : C ∗ (a) → C(σ(a)). Man kann dieses Resultat so interpretieren,dass man für jede stetige Funktion f auf σ(a) ein Element f (a) := Φ(a) ∈ C ∗ (a) so definieren kann, dassdie Zuordnung f → f (a) ein ∗ -Isomorphismus wird. Insbesondere gilt alsoWeiterhin erhält man sofort einen Spektralsatz(f + g)(a) = f (a) + g(a), (f g)(a) = f (a)g(a), f (a) = f (a) ∗ . (2.3.9)σ(f (a)) = f (σ(a)) = {f (λ) : λ ∈ σ(a)} für alle f ∈ C(σ(a)). (2.3.10)Man beachte, dass man nun beispielsweise a 1 2 auch dann definieren kann, falls a normal ist und σ(a) ⊆ + ist. Elementea mit diesen Eigenschaften besitzen also eine Quadratwurzel. Wir sehen uns noch zwei einfache Anwendungen desstetigen Funktionalkalküls an.Beispiel 2.3.5. Sei a ∈ A selbstadjungiert. Dann ist σ(a) ⊆ . Auf (und damit auf σ(a)) sind die Funktionenf 1 (x) := max{0, x}, f 2 (x) := − min{0, x}, f 3 (x) := |x|stetig. Wir definierena + := f 1 (a), a − := f 2 (a), |a| := f 3 (a).Dann ist a = a + − a − , |a| = a + + a − und a + a − = 0. Diese Elemente heißen positiver und negativer Teil bzw. Betragvon a.31