Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Wir können uns hier nicht unmittelbar auf die Resultate für einfach erzeugte Banachalgebren berufen. Als Banachalgebrawird C ∗ (a) natürlich durch e und die beiden Elemente a und a ∗ erzeugt.Beweis. Aus aa ∗ = a ∗ a folgt, dass C ∗ (a) eine kommutative C ∗ -Algebra ist. Wegen Satz 2.2.1 ist alsoC ∗ (a) ∼ = C(X )mit X := M(C ∗ (a)).Da a die Algebra C ∗ (a) erzeugt, erzeugt die Gelfandtransformierte â von a die Algebra C(X ) (im Sinne von C ∗ -Algebren). Wir zeigen, dassâ : X → â(X ) = σ C ∗ (a)(a) (2.2.7)ein Homöomorphismus ist. Da C(X ) die Punkte von X trennt und â diese Algebra erzeugt, muss bereits â die Punktevon X trennen. â ist also injektiv, und die Stetigkeit und Surjektivität von â wie in (2.2.7) sind klar. Da X kompaktist, folgt bereits die Behauptung.Schließlich verwenden wir noch, dass σ C ∗ (a)(a) = σ A (a) (Inverse Abgeschlossenheit von C ∗ -Algebren).2.3 Stetiger Funktionalkalkül für normale ElementeWir haben in der Übung bereits eine rudimentäre Fassung des Funktionalkalküls kennengelernt: Ist p(t) = a 0 t 0 +a 1 t 1 + · · · + a n t n ein Polynom und A eine Banachalgebra mit Einselement e, so wird für jedes a ∈ A durch p(a) =a 0 e + a 1 a + · · · + a n a n ein Element aus A definiert. Dabei giltσ(p(a)) = p(σ(a)) = {p(λ) : λ ∈ σ(a)},und die Abbildung p → p(a) ist ein Homomorphismus von der Algebra der Polynome in A.Man ist nun bestrebt, f (a) auch für größere Klassen von Funktionen zu erklären. Es ist leicht einzusehen, dass manfür jede ganze Funktion f (z) = ∑ ∞n=0 a nz n das Element f (a) durch f (a) := ∑ ∞n=0 a na n mit a 0 := e definieren kann. Daf eine ganze Funktion ist, konvergiert nämlich für jedes a ∈ A die Reihe ∑ a n a n absolut. Man kann auf diese Weisez.B. Elemente wie exp a oder sin a einführen und auch der Spektralsatzσ(f (a)) = f (σ(a)) = { f (λ) : λ ∈ σ(a)} (2.3.8)gilt für beliebige ganze Funktionen.Dieses Resultat lässt sich weiter verallgemeinern, wobei hier nur überblicksartig die wesentlichen Defninitionen undResultate angegeben werden. In Kurzfassung lautet die Verallgemeinerung: Man kann f (a) für jede Funktion erklären,welche in einer Umgebung von σ(a) holomorph ist. Für f (a) gilt dann der Spektralsatz (2.3.8).Satz 2.3.1. Sei a ∈ A, G eine offene Umgebung von σ(a), und f : G → holomorph. Dann existiert eine offene MengeW mitσ(a) ⊂ W ⊂ W ⊂ G,deren Rand aus endlich vielen paarweise disjunkten einfachen geschlossenen Wegen besteht. Unabhängig von W wirddurchf (a) := 1 ∫f (z)(ze − a) −1 dz2πi∂ Wein Element von A definiert.Der Beweis der Unabhängigkeit dieser Definition von W erfolgt mit dem Cauchyschen Integralsatz.Sind G 1 , G 2 Umgebungen von σ(a) und f 1 : G 1 → , f 2 : G 2 → holomorphe Funktionen, so sind f 1 + f 2 , f 1 · f 2 :G 1 ∩ G 2 → holomorphe Funktionen, und es giltSchließlich gilt wieder der Spektralsatz(f 1 + f 2 )(a) = f 1 (a) + f 2 (a), (f 1 f 2 )(a) = f 1 (a)f 2 (a).Satz 2.3.2. Sei f in einer Umgebung G von σ(a) holomorph. Dann giltσ(f (a)) = f (σ(a)) = { f (λ) : λ ∈ σ(a)}.30