Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis des Satzes von Gelfand. Wir zeigen zuerst, dass ein ∗ -Homomorphismus ist. Sei a ∈ A. Dann sind m :=12 (a + a∗ ) und n := 1 2i (a − a∗ ) selbstadjungierte Elemente aus A, und es gilt a = m + in und a ∗ = m − in.Aus der Selbstadjungiertheit von m und n folgt, dass σ(m) und σ(n) in enthalten sind (Satz 1.5.8). Nach Satz 2.1.5müssen daher m und n reellwertige Funktionen sein (beachte: ( m)(M(A)) = σ(m)). Folglich ist a = m + i n = m − i n = (m − in) = (a ∗ ).Man sieht auch leicht, dass eine Isometrie ist. Da für a ∈ A das Element a ∗ a selbstadjungiert ist, folgt‖a‖ 2 = a ∗ a = r(a ∗ a) (∗)= (a ∗ a) ∞= ( a) ∗ a ∞= ‖ a‖ 2 ∞ ,wobei (∗) wieder aus Satz 2.1.5 folgt.Da eine Isometrie ist, ist A eine abgeschlossene Unteralgebra von C(M(A)), und aus der Tatsache, dass ein∗ -Homomorphismus ist, folgt die Symmetrie von A. Das Einselement von A wird durch auf die Funktion x → 1abgebildet (Satz 1.4.17), es ist also 1 ∈ A. Schließlich trennt A offensichtlich die Punkte von M(A). Sind nämlichf , g zwei verschiedene Funktionale auf A, so müssen diese sich wenigstens in einem Punkt a ∈ A unterscheiden, d.h.f (a) ≠ g(a) bzw. ( a)(f ) ≠ ( a)(g). Der Satz von Stone-Weierstraß liefert nun A = C(M(A)).Hat A kein Einselement, so kann man ähnlich beweisen, dass A isometrisch ∗ -isomorph zu C 0 (M(A)) ist.Bemerkung 2.2.3. Wir können jedem kompakten Hausdorff-Raum X die C ∗ -Algebra C(X ) zuordnen und jeder kommutativenC ∗ -Algebra A mit Eins den kompakten Hausdorff-Raum M(A). Man kann C also betrachten als Funktorvon der Kategorie der kompakten Hausdorffräume (mit den Homöomorphismen als Abbildungen) in die Kategorieder kommutativen C ∗ -Algebren mit Eins (mit den ∗ -Isomorphismen als zugehörige Abbildungen), und man kann Mauffassen als Funktor, der zwischen diesen Kategorien in umgekehrter Richtung wirkt. Die Sätze 2.1.2 sowie 2.1.9lassen sich so zusammenfassen:C(M(A)) ∼ = A und M(C(X )) ∼ = X ,M und C sind also ”invers” zueinander. Ein kompakter Hausdorff-Raum wird also vollständig durch die zugehörigeC ∗ -Algebra bestimmt und umgekehrt. Fassen wir das ganze noch etwas weiter, lässt sich folgendes ”Wörterbuch”aufmachen:Topologielokalkompakter Hausdorff-RaumKompaktheitHomöomorphismusstetige Abbildungabgeschlossene Teilmengenicht zusammenhängend.C ∗ -Algebrenkommutative C ∗ -AlgebraEinselement∗ -Isomorphismus∗ -Homomorphismusabgeschlossenes Ideal∃ Projektoren.Diese und weitere Entsprechungen bilden den Ausgangspunkt für zahlreiche fruchtbare Verallgemeinerungen vom”Kommutativen” auf den ”nichtkommutativen” Fall. vgl. hierzu A. Connes, Non-commutative Geometry.Bemerkung 2.2.4. Ist X ein topologischer Raum und BC(X ) die C ∗ -Algebra der beschränkten stetigen Funktionen aufX , so gibt es nach Satz 2.2.1 einen kompakten Hausdorff-Raum ˜X so, dassBC(X ) ∼ = C( ˜X ).Man kann zeigen, dass X auf natürliche Weise stetig und dicht in ˜X abgebildet werden kann (”eingebettet” ist) (d.h.die Abbildung T : X → ˜X , x → δ x ist stetig und clos(T X ) = ˜X ). Der Raum ˜X heißt Stone-Cech-Kompaktifizierung vonX .Wir überlegen uns abschließend, wie sich die Aussage von Satz 2.2.1 präzisieren lässt, wenn A von einem Elementerzeugt wird.Satz 2.2.5. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement e, a ∈ A sei normal, und C ∗ (a) sei die kleinste abgeschlossene undsymmetrische Unteralgebra von A, die e und a enthält. Dann ist C ∗ (a) kommutative C ∗ -Algebra, undC ∗ (a) ∼ = C(σ(a)).29