Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis. Aus Satz 2.1.5 wissen wir, dass die Abbildung T korrekt definiert sowie surjektiv ist. Nach der Definition der∗ -schwachen Topologie auf M(A) ist auch die Stetigkeit von T sofort klar. Ist (f t ) ⊆ M(A) ein Netz, welches gegenf ∈ M(A) ∗ -schwach konvergiert, so konvergiert natürlich (T f t ) = (f t (a)) gegen f (a) = T(f ).Für den Beweis der Injektivität von T seien f 1 , f 2 ∈ M(A) mit T(f 1 ) = T(f 2 ). Dann ist f 1 (a) = f 2 (a), und da f 1 , f 2Charaktere sind, folgtf 1 (p(a)) = f 2 (p(a)) für jedes Polynom p.Da die Polynome p(a) dicht in A liegen und f 1 , f 2 stetig sind, stimmen f 1 und f 2 auf ganz A überein, d.h. es istf 1 = f 2 . Die Behauptung folgt nun wie in den vorausgegangenen Sätzen.Identifiziert man M(A) mit σ(a) vermöge der Abbildung T, so überführt die Gelfandtransformation das Element agerade in die identische Abbildung auf σ(a).Der Satz 2.1.15 liefert auch einen alternativen Zugang zu den Resultaten aus Beispiel 2.1.10 (beachte, dass singlygenerated und χ 1 ein Erzeuger ist).Abschließend zeigen wir ein weiteres Resultat über ”automatische Stetigkeit”.Satz 2.1.16. A und B seien kommutative Banachalgebren mit Eins, B sei darüber hinaus halbeinfach, und W : A → Bsei ein unitaler Homomorphismus. Dann ist W stetig.Im Spezialfall B = ist das gerade die Aussage von Satz 1.4.17.Beweis. Sei a n → a in A und W (a n ) → b in B. Wir zeigen, dass b = W (a). Dann folgt die Behauptung aus dem Satzvom abgeschlossenen Graphen.Sei f ∈ M(B) beliebig gewählt. Dann ist g := f ◦ W ein Charakter von A, und nach Satz 1.4.17 sind f und g stetig.Daher istf (b) = lim f (W (a n )) = lim g(a n ) = g(a) = f (W (a)).Da diese Beziehung für jedes f ∈ M(B) gilt, muss b − W (a) im Radikal von B liegen, welches nach Voraussetzungnur aus der 0 besteht. Also ist in der Tat b = W (a).Folgerung 2.1.17. Jeder Isomorphismus zwischen halbeinfachen kommutativen Banachalgebren mit Eins ist ein Homöomorphismus.2.2 Kommutative C ∗ -AlgebrenWir kommen nun zur bereits mehrfach angekündigten Beschreibung kommutativer C ∗ -Algebren.Satz 2.2.1 (Gelfand, 1941). Sei A eine kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement. Dann ist die Gelfandtransformationein isometrischer ∗ -Isomorphismus von A auf C(M(A)), es gilt also insbesondere‖ a‖ ∞ = ‖a‖ ∞ und (a ∗ ) = a für alle a ∈ A.Für den Beweis der Surjektivität benötigen wir eine Verallgemeinerung des klasssischen Weierstraßschen Resultates,dass sich jede stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren lässt.Dazu nennen wir eine Teilmenge A von C(X ) symmetrisch, wenn für jedes f ∈ A auch die konjugiert komplexeFunktion f in A liegt, und wir sagen, dass A die Punkte von X trennt, wenn es für beliebige Punkte x, y ∈ X ein f ∈ Amit f (x) ≠ f (y) gibt.Satz 2.2.2 (Stone/Weierstraß). Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum, und A sei eine abgeschlossene und symmetrischeUnteralgebra von C(X ), welche die Punkte von X trennt und die konstante Funktion x → 1 enthält. Dann ist A = C(X ).Beweis. Wir bezeichnen mit A r die Menge der reellwertigen Funktionen aus A und definieren C r (X ) analog. Manmacht sich leicht klar, dass A r eine abgeschlossene Unteralgebra von C r (X ) ist, welche ebenfalls die Punkte von Xtrennt und die Einsfunktion enthält. Wir zeigen A r = C r (X ), woraus die Behauptung folgt. Ist nämlich f ∈ C(X ) sosind Re f := 1 (f + f ) und Im f := 1 (f − f ) reellwertige Funktionen aus C(X ), also in C 2 2i r(X ). Aus A r = C r (X ) folgtdann Re f , Im f ∈ A r , und hieraus schließlich f = Re f + i Im f ∈ A.Im ersten Schritt zeigen wir, dass aus f ∈ A r auch f ∈ Ar folgt. Dazu erinnern wir daran, dass die Reihe ∞∑1a n t n mit a n = (−1) n 2nn=027