Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

12π∫ 2π0(G f ) e it e −int d t = 12π= 12π∫ 2π0∞∑m=−∞∞∑m=−∞f (m)f (m)e i(m−n)t d t∫ 2π0e i(m−n)t d t = f (n),wobei die Vertauschung von Integration und Summation wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe gerechtfertigtist. Dies zeigt insbesondere, dass eine Funktion ϕ ∈ C() genau dann im Bild der Gelfandtransformation von l 1 ()liegt, wenn die Folge ihrer Fourierkoeffizienten absolut konvergiert, d.h. wenn∞∑n=−∞1 2π∫ 2π0ϕ(e it )e −i·nt < ∞Nun besitzt aber nicht jede stetige Funktion eine absolut konvergente Fourierreihe. Das folgende Resultat, welchesauf Wiener zurückgeht, ist daher keineswegs offensichtlich:Satz 2.1.14. Die Funktion ϕ ∈ C() besitze eine absolut konvergente Fourierreihe, und es sei außerdem ϕ(t) ≠ 0 füralle t ∈ . Dann besitzt auch 1 eine absolut konvergente Fourierreihe.ϕDer Wiener’sche Beweis für diesen Satz ist höchst technisch und aufwendig. Es war einer der ersten Triumphe derGelfandschen Darstellungstheorie, für Satz 2.1.14 einen eleganten und durchsichtigen Beweis zu liefern, den wir unsnun ansehen.Beweis des Satzes von Wiener nach Gelfand. Nach Voraussetzung gibt es eine Funktion f ∈ l 1 () mit G f = ϕ. Wegen = M(l 1 ()) impliziert die Voraussetzung ϕ(t) ≠ 0 für alle t ∈ , dass f invertierbar in l 1 () ist (Satz 2.1.5). Seig := f −1 ∈ l 1 (). Dann ist1 = Ge 0 = G(g ∗ f ) = G(g) · G(f ) = G(g) · ϕ bzw.1ϕ = G(g)Folglich besitzt 1 ϕeine absolut konvergente Fourierreihe.Wir vermerken noch, dass sich analoge Resultate auch im ”kontinuierlichen Fall”, d.h. für die Algebra L 1 (), ableitenlassen. Genauer: für jedes t ∈ wird durchϕ t (f ) :=∫ ∞−∞f (x)e ix t d xein Charakter von L 1 () definiert, und umgekehrt ist jeder Charakter von L 1 () von dieser Gestalt mit einem gewissent ∈ . Hieraus lässt sich ableiten, dass der Raum der maximalen Ideale von L 1 () homöomorph zu ist und dass dieGelfandtransformation von L 1 () nichts anderes als die bekannte Fouriertransformation ist:(G f )(t) =∫ ∞−∞f (x)e it x d xBekanntlich bildet die Fouriertransformation L 1 () in C 0 () ab, was die Tatsache widerspiegelt, dass L 1 () kein Einselementbesitzt. Als Ergänzung überlegen wir uns, wie man den Raum der maximalen Ideale einer einfach erzeugtenBanachalgebra beschreiben kannSatz 2.1.15. Sei A eine einfach erzeugte Banachalgebra mit Eins, und a sei ein Erzeuger von A. Dann ist die Abbildungein Homöomorphismus von M(A) auf σ(a).T : M(A) → σ(a), f → f (a)26