Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beispiel 2.1.12. Wir betrachten nun eine Algebra, für die die Gelfandtransformation nicht surjektiv ist: Die bereits inAbschnitt 1.1 eingeführte Algebra l 1 () mit der Faltung als Multiplikation.Für jedes z ∈ definieren wir eine Abbildungϕ z : l 1 () → ,∑f →n∈f (n)z n (2.1.5)Man macht sich sofort klar, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und einen Charakter von l 1 () liefert.Satz 2.1.13. Die Abbildungψ : → M(l 1 ()), z → ϕ z (2.1.6)ist ein Homöomorphismus von auf M(l 1 ()).Beweis. Seien z 1 , z 2 ∈ und ϕ z1 = ϕ z2 . Dann istwobei wir im weiteren mit e n (n ∈ ) die Funktionz 1 = ϕ z1 (e 1 ) = ϕ z2 (e 1 ) = z 2 ,e n (m) =1 f alls m = n0 f alls m ≠ nbezeichnen. Die Abbildung ψ ist also injektiv, und wir zeigen als nächstes die Surjektivität. Sei ϕ ∈ M(l 1 ()) undz := ϕ(e 1 ). Dann ist1 = e1 ≥ ϕ(e1 ) 1= |z| = z−1 = 1 ϕ(e−1 ) ≥ 1 = 1, e−1 d.h. |z| = 1 bzw. z ∈ . Weiter folgt ausϕ(e n ) = (ϕ(e 1 )) n = z n = ϕ z (e n ),für n ∈ dass die Charaktere ϕ und ϕ z auf einer in l 1 () dichten Teilmenge und folglich auf ganz l 1 () übereinstimmen. Esist also ϕ = ϕ z , d.h. ψ ist surjektiv.Wie in den vorangegangen Beispielen ist nun noch die Stetigkeit von ψ zu zeigen.Wieder reicht es, Folgen zu betrachten. Sei (z n ) n∈ eine Folge in mit lim n→∞ z n = z ∈ . Dann ist für jedes f ∈ l 1 () : ϕzn (f ) − ϕ z (f ) ∑≤|m|≤N f (m) z mn − zm +∑|m|>N≤ f l 1 max∑() zmn − zm + 2|m|≤NZu vorgegebenem ɛ > 0 wählen wir nun N so, dass ∑ |m|>Nsup zmn − zm N f (m) f (m) n 0Für alle n > n 0 ist dann ϕzn (f ) − ϕ z (f ) < ɛ, d.h. limn→∞ ϕ zn (f ) = ϕ z (f ). Dies gilt für jedes f ∈ l 1 (); also ist ψstetig.Wir identifizieren im weiteren wieder M(l 1 ()) und unter der Abbildung (2.1.6). Dann können wir die Gelfandtransformationfür l 1 () auffassen als Abbildung von l 1 () in C(), die jeder Funktion f ∈ l 1 () die durch(G f )(z) :=∞∑n=−∞f (n)z ndefinierte Funktion G f auf zuordnet (die Reihe konvergiert absolut). Umgekehrt kann man die Werte der Funktionf auf aus denen der Funktion G f auf ”zurückbestimmen”, da erstere gerade mit den Fourierkoeffizienten von G fübereinstimmen. Genauer gilt für jedes f ∈ l 1 () und n ∈ 25