Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beispiel 2.1.8. Sei X kompakter Hausdorff-Raum und A = C(X ). Wir kennen bereits die abgeschlossenen Ideale vonC(X ) (Satz 1.2.7). Sie sind alle von der Gestalt {f ∈ C(X ) : f |K = 0} mit einer kompakten Menge K ⊆ X . Da sich dieseIdeale vergrößern, wenn K kleiner wird, sind die maximalen Ideale von C(X ) gerade durch die einelementigen Mengen{x}, x ∈ X , gegeben. Für jedes x ∈ X ist also {f ∈ C(X ) : f (x) = 0} ein maximales Ideal, und jedes maximale Idealist von dieser Gestalt. Mit Lemma 2.1.3 folgt hieraus: Für jedes x ∈ X ist die Punktauswertung σ x (f ) := f (x) einCharakter von C(X ), und jeder Charakter ist von dieser Gestalt. Wir haben also eine BijektionX → M(C(X )), x → σ x (2.1.3)zwischen den Mengen X und M(C(X )), und wir überlegen uns noch, dass (2.1.3) sogar ein Homöomorphismus zwischenden topologischen Räumen X und M(C(X )) ist. Aus der Definition der Topologie auf M(C(X )) folgt, dass die Abbildung(2.1.3) stetig ist, denn alle Abbildungen x → f (σ x ) = f (x) sind auf X (per Definition) stetig. Außerdem ist - wiebereits bemerkt - (2.1.3) eine Bijektion und X kompakt und somit (2.1.3) ein Homöomorphismus. Halten wir fest:Satz 2.1.9. Sei X Hausdorffscher Kompakt und A = C(X ). Dann ist M(C(X )) homöomorph zu X , und ein Homöomorphismusvon X auf M(C(X )) ist durch x → σ x gegeben.Wenn wir also M(C(X )) und X identifizieren, so ist die Gelfandtransformation G : C(X ) → C(X ) gerade die identischeAbbildung.Beispiel 2.1.10. Hier bestimmen wir den Raum der maximalen Ideale der Disk-Algebra aus Abschnitt 1.5. Wir wissennoch, dass ⊆ C(). Für jedes z ∈ wird durch σ z : → , f → f (z) ein Charakter von definiert. Außerdemwissen wir aus Lemma 1.5.2, dass sich für jedes w ∈ das durch σ w : P + → , p → p(w) definierte Funktional stetigzu einem Charakter von fortsetzen lässt, den wir wieder mit σ w bezeichnen. Wir zeigenSatz 2.1.11. Die Abbildungϕ : → M(), z → σ z (2.1.4)ist ein Homöomorphismus von auf M().Beweis. Nach obigen Bemerkungen ist ϕ korrekt definiert. Sind z 1 , z 2 ∈ Punkte mit ϕ(z 1 ) = ϕ(z 2 ), so istz 1 = σ z1 (χ 1 ) = σ z2 (χ 1 ) = z 2 ,d.h. ϕ ist injektiv. Wir zeigen nun, dass ϕ auch surjektiv ist. Sei f ∈ M() und z := f (χ 1 ). Wegen f = 1 ist |z| ≤ 1,d.h. z ∈ . Die Identität N∑ N∑N∑f a n χ n = a n f (χ 1 ) n =a n χ nn=0n=0n=0a n z n = σ z N∑n=0zeigt dann, dass f und σ z auf der dichten Teilmenge P + von übereinstimmen. Da f und σ z auf stetig sind,stimmen sie auf ganz überein, d.h. ϕ ist surjektiv.Da kompakt ist und ϕ eine Bijektion, genügt es für die Homöomorphie von ϕ zu zeigen, dass ϕ stetig ist. Da ein metrischer Raum ist, reicht es Folgen zu betrachten. Sei (z n ) n∈ eine Folge in mit lim n→∞ z n = z ∈ . Für jedesanalytische trigonometrische Polynom gilt dann N∑ N∑N∑N∑lim σ zn→∞ na k χ k = lim a k z kn→∞ n = a k z k = σ z a k χ kk=0k=0 k=0 k=0Da P + in dicht liegt und sup n∈ σzn = 1 ist, folgtlim σ zn→∞ n(f ) = σ z (f )für alle f ∈ d.h. die Folge (σ zn ) n∈ konvergiert ∗-schwach gegen σ z . Das ist aber die Stetigkeit von ϕ.Im Weiteren werden wir M() mit vermöge der Abbildung (2.1.4) identifizieren. Für jedes Polynom p ∈ P + istdann die Gelfand-Transformierte p analytisch auf und stetig auf . Nach dem Maximumprinzip gilt also p(z) = sup p(z) = sup p(z) ,z∈∂ ()z∈Tsupz∈d.h. ‖a‖ ∞ = ‖a‖ ∞ für alle a ∈ P + und folglich für alle a ∈ . In diesem Fall ist die Gelfandtransformation G : →C(M()) = C() also eine Isometrie, jedoch nicht surjektiv.24