Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Schreibweise 2.1.4. Man nennt M(A) für kommutative Banachalgebren daher auch den Raum der maximalen Ideale.Weiter nennen wir für x ∈ A die Funktion x ∈ C(M(A)) die Gelfandtransformierte von x, und die AbbildungG : A → C(M(A)),x → xdie Gelfandtransformation auf A. Wir formulieren nun eine der zentralen Aussagen der Gelfandtheorie.Satz 2.1.5. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Einselement. Dann ist M(A) nicht leer. Für jedes a ∈ A ista(M(A)) = σ(a) und ‖a‖ ∞ = r(a),und die Gelfandtransformation G : A → C(M(A)) ist ein kontraktiver Homomorphismus. Der Kern von G ist dasRadikal von A. Insbesondere ist G genau dann injektiv, wenn A halbeinfach ist.Beweis. M(A) ist nicht leer. Die Algebra A besitzt nämlich wenigstens ein echtes Ideal (z.B.{0}). Dieses ist nach demKrull’schen Lemma (Satz 1.6.2) in einem maximalen Ideal enthalten. Dieses maximale Ideal ist wegen Lemma 2.1.3der Kern eines Charakters von A.Wir zeigen als nächstes, dass a(M(A)) = σ(a). Sei zunächst λ ∈ σ(a). Dann ist a − λe nicht invertierbar, undA(a − λe) ist ein echtes Ideal von A, da es das Einselement nicht enthält. Aus dem Krull’schen Lemma wissen wir,dass A(a − λe) in einem maximalen Ideal von A enthalten ist, welches Kern eines Charakters f von A ist. Da A einEinselement besitzt, liegt a − λe im Ideal A(a − λe) und folglich im Kern von f . Es ist also 0 = f (a − λe) = f (a) − λund daher λ = f (a) = a(f ) ∈ a(M(A)).Sei umgekehrt λ ∈ a(M(A)), d.h. λ = f (a) für ein f ∈ M(A). Dann kann a − λe nicht invertierbar sein: gäbe es einInverses b zu a−λe, so würde die Anwendung von f auf die Gleichung (a−λe)b = e gerade f (a−λe) ≠ 0 bzw. f (a) ≠ λliefern, ein Widerspruch. Also ist λ ∈ σ(a). Hieraus folgt a(M(A)) = σ(a), und die Beziehung ‖a‖ ∞ = r(a) ist eineoffensichtliche Konsequenz hieraus. Insbesondere ist ‖a‖ ∞ ≤ ‖a‖, d.h. die Gelfandtransformation ist eine Kontraktion.Schließlich sind die folgenden Aussagen äquivalent• a ∈ ker G• f (a) = 0 für alle f ∈ M(A)• a liegt in jedem maximalen Ideal von A• a ∈ Rad ABemerkung 2.1.6. Die Aussage M(A) ≠ gilt i.a. nicht mehr, wenn A eine kommutative Banachalgebra ohne Einselementist. Ein einfaches Beispiel ist die Unteralgebra 2×2 , welche aus allen Matrizen der Gestalt mit α ∈ 0 α0 0besteht (↗ Übung). Unter der Annahme M(A) ≠ kann man jedoch auch im nicht-unitalen Fall ein zu Satz 2.1.5analoges Resultat beweisen. Zunächst definieren wir für jede kommutative Banachalgebra A ohne Einselement undfür jedes a ∈ A :σ A (a) := σÃ(a),wobei à die in Abschnitt 1.3 diskutierte Erweiterung von A zu einer Banachalgebra mit Eins ist. Wir haben bereitsim Beweis von Satz 2.1.2 bemerkt, dass M(Ã) = M(A) ∪ {ϕ} mit ϕ : à → , (a, λ) → λ ist. Folglich istσ A (a) = σÃ(a) = a(M(Ã)) = a(M(A)) ∪ {0}und‖a‖ ∞ :=sup a(f ) = r(a)f ∈M(A)Bemerkung 2.1.7. Aus Satz 2.1.5 folgt, dass für jede kommutative Banachalgebra mit Eins die Abbildung a → r(a)eine semimultiplikative Halbnorm ist und sogar eine Norm, falls die Algebra halbeinfach ist.23