Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Definition 2.1.1 (Charakter). Sei A eine Banachalgebra. Ein Charakter von A ist ein nichttrivialer Homomorphismusvon A in . Die Menge aller Charakter von A bezeichnen wir mit M(A) und versehen diese Menge mit der ∗ -schwachenTopologieMan beachte, dass M(A) = sein kann.Satz 2.1.2.(i) Sei A eine Banachalgebra mit Einselement. Dann ist M(A) kompakt und die Abbildung G : A → C(M(A)), x → xmit x(f ) = f (x) ist ein kontraktiver Homomorphismus.(ii) Ist A eine Banachalgebra ohne Einselement, so ist M(A) lokalkompakt und G : A → C 0 (M(A)), x → x ist einkontraktiver HomomorphismusBeweis.(i) Aus Satz 1.4.17 wissen wir, dassM(A) ⊆ B(A ′ ) := { f ∈ A ′ : f ≤ 1}Da B(A ′ ) nach Alaoglu kompakt ist, haben wir für die Kompaktheit von M(A) nur die Abgeschlossenheit vonM(A) in B(A ′ ) zu zeigen. Seien dazu a, b ∈ A. Dann ist die MengeM a,b := { f ∈ B(A ′ ) : f (ab) = f (a)f (b)} = {f ∈ B(A ′ ) : ab(f ) = a(f ) b(f )}abgeschlossen in B(A ′ ), da a, b und ab dort stetige Funktionen sind. Aus dem gleichen Grund ist auchabgeschlossen. Damit ist aber auchM e := {f ∈ B(A ′ ) : f (e) = e(f ) = 1}M(A) :=⋂(a,b)∈A×AM a,b ∩ M eabgeschlossen und mithin kompakt. Der Rest der Behauptung folgt ausfür alle a ∈ A (vgl. (2.1.2)).‖a‖ ∞ = sup{ a(f ) : f ∈ M(A)} ≤ sup{ a(f ) : f ∈ B(A ′ )} = ‖a‖(ii) Hat A kein Einselement, so definieren wir à := A × wie in Satz 1.3.2. Jeder Homomorphismus f : A → lässt sich eindeutig zu einem unitalen Homomorphismus ˜f : à → fortsetzen, indem man ˜f (a, λ) := f (a) + λsetzt (Nachrechnen!). Der einzige Charakter von Ã, für den die Einschränkung auf A trivial ist, ist geradeϕ : à → , (a, λ) → λ. Wir haben daher M(Ã) = M(A) ∪ {ϕ}. Wegena(f ) + λ f ∈ M(A)(a, λ)(f ) =λ f = ϕstimmt die ∗ -schwache Topologie bzgl. A auf M(A) mit der Teilraumtopologie bzgl. M(Ã) überein. M(A) istdaher ein lokalkompakter Raum.Die nächsten Schritte bereiten wir vor, indem wir einen Zusammenhang herstellen zwischen maximalen Idealen undden Kernen von Charakteren.Lemma 2.1.3. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Eins. Dann ist der Kern jedes Charakters von A ein maximalesIdeal von A. Umgekehrt ist für jedes maximale Ideal J von A gerade A/J ≅ , d.h. J ist Kern eines Charaktersvon A.Beweis. Sei f ∈ M(A). Dann ist wegen A/ ker f ≅ Im f = die Kodimension des Unterraumes ker f von A gleich 1.Es kann also kein Ideal geben, welches echt zwischen ker f und A liegt.Sei umgekehrt J ein maximales Ideal von A. Dann ist A/J eine kommutative Banachalgebra mit Einselement. Wirzeigen, dass A/J sogar ein Körper ist. Sei a /∈ J. Dann ist die Menge A · a + J ein Ideal in A, welches J umfaßt,aber echt größer ist als J. Da J maximal ist, folgt A · a + J = A. Dann gibt es aber Elemente b ∈ A, j ∈ J so, dassab + j = e. Folglich ist a + J in A/J invertierbar, d.h. A/J ist ein Körper. Nach dem Satz von Gelfand-Mazur 1.4.14ist A/J ≅ . Ist π der kanonische Homomorphismus von A auf A/J und ξ ein Isomorphismus von A/J auf , so istξ ◦ π ein Charakter von A, dessen Kern J ist.22