Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

2 Die Gelfandsche DarstellungstheorieIn diesem Abschnitt werden wir einen besonders schönen und nützlichen Teil der Spektraltheorie kennenlernen. Wirhaben schon mehrfach die Algebra C(X ) der stetigen Funktion auf einem kompakten Hausdorff-Raum als Beispielbetrachtet. Eines der Hauptergebnisse dieses Abschnittes wird sein, dass jede kommutative C ∗ -Algebra mit Eins zueiner Algebra der Gestalt C(X ) isometrisch isomorph ist.2.1 Kommutative BanachalgebrenDie Grundidee der Gelfandschen Darstellungstheorie für kommutative Banachalgebren ist die folgende. Sei X Banachraumund X ′ sei dualer Raum. Jedem Element x ∈ X ordnen wir auf natürliche Weise eine Funktion x auf derEinheitskugel B(X ′ ) := { f ∈ X ′ : f ≤ 1} zu:x : B(X ′ ) → , f → f (x) (2.1.1)Aus Hahn-Banach folgt für jedes x ∈ X die Existenz eines f ∈ B(X ′ ) mit f (x) = ‖x‖. Daher ist‖x‖ ∞ := sup{ f (x) : f ∈ B(X ′ )} = ‖x‖ (2.1.2)Wir versehen nun B X ′ mit der schwächsten Topologie, welche alle Funktionen (2.1.1) mit x ∈ X stetig macht. Dies istdie sogenannte ∗ -schwache Topologie, und aus dem Satz von Alaoglu weiß man, dass B(X ′ ) bezüglich dieser Topologieein kompakter Hausdorff-Raum ist. Wegen (2.1.2) wird also durchX → C(B(X ′ ))x → xeine isometrische Einbettung des Banachraumes X in die Algebra C(B(X ′ )) der (bzgl. der ∗ -schwachen Topologie)stetigen komplexwertigen Funktionen auf B(X ′ ) gegeben.Einschub zur ∗ -schwachen TopologieEine Umgebungsbasis für f ∈ B(X ′ ) bzgl. der ∗ -schwachen Topologie wird durch die MengenU x1 ,...x k ,ɛ(f ) := {g ∈ B(X ′ ) : |g(x i ) − f (x i )| < ɛ für alle i = 1, ..., k}mit k ∈ , x 1 , ..., x k ∈ X und ɛ > 0 geliefert. Diese Topologie ist Hausdorffsch:Sind f , g ∈ B(X ′ ) mit f ≠ g, so gibt es ein x mit f (x) ≠ g(x). Für ɛ := 1 3 f (x) − g(x) sind die MengenU x,ɛ (f ) := {h ∈ B(X ′ ) : f (x) − h(x) < ɛ} und Ux,ɛ (g) := {h ∈ B(X ′ ) : g(x) − h(x) < ɛ}offen und disjunkt. Eine weitere äquivalente Beschreibung der ∗ -schwachen Topologie ist die Folgende:Ein Net (f t ) t∈T konvergiert genau dann ∗ -schwach gegen f ∈ B(X ′ ), wenn f t (x) → f (x) für alle x ∈ XIst nun der Banachraum X sogar eine Banachalgebra A, so hätte man gern eine homomorphe Einbettung von A alseine Unteralgebra von C(B(X ′ )). Den Elementen a, b und ab von A entsprechen die Funktionena : f → f (a) b : f → f (b) ab : f → f (ab)Um den gewünschten Einbettungshomomorphismus zu bekommen, muss wenigstensa b = ab bzw. f (ab) = f (a)f (b) für alle a, b, ∈ Asein. Wir sollten also nicht mehr alle Elemente aus B(A ′ ) betrachten, sondern nur die Homomorphismen von Anach . Die erweist sich in der Regel jedoch als wenig hilfreich. Z.B. gibt es im Fall N > 1 für die Algebra N×Nnur einen Homomorphismus N×N → , die Nullabbildung. Für A ∈ N×N ist also A eine Funktion, die auf einereinelementigen Menge definiert und dort 0 ist. Wir werden aber sehen, dass kommutative Banachalgebren stets (ineinem gewissen Sinn) hinreichend viele Homomorphismen in besitzen. Nach diesen Vorüberlegungen beginnen wirmit einer genaueren Betrachtung kommutativer Banachalgebren.21