Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Offenbar ist Rad A wieder ein Linkideal von A. Der folgende Satz liefert äquivalente Beschreibungen von Rad A undzeigt, warum Rad A z.B. im Zusammenhang mit Invertierbarkeitsproblemen von Interesse ist.Satz 1.6.6. Sei A eine Algebra mit Eins e. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für ein Element r ∈ A:(i) r ∈ Rad A(ii) e − ar ist von links invertierbar für jedes a ∈ A(iii) e − ar b ist invertierbar für alle a, b ∈ A(iv) e − r b ist von rechts invertierbar für jedes b ∈ A(v) r liegt im Durchschnitt der maximalen Rechtsideale von A.Beweis.(i) ⇒ (ii): Sei r ∈ Rad A. Angenommen, es gibt ein a ∈ A so, dass e − ar nicht von links invertierbar ist. Dann istA(e−ar) ein echtes (da e nicht enthalten ist) Linksideal von A, und nach dem Lemma von Krull ist A(e−ar) ineinem maximalen Linksideal J von A enthalten. Wegen e ∈ A ist insbesondere e − ar ∈ J. Außerdem ist ar ∈ J,da r ∈ Rad A. Folglich muss auch e ∈ J sein, woraus J = A folgen würde.(ii) ⇒ (i): Sei e − ar von links invertierbar für alle a ∈ A. Angenommen, r ∉ Rad A. Dann gibt es ein maximalesLinksideal J von A, welches r nicht enthält. Die Menge := {l + ar : l ∈ J, a ∈ A} ist dann ein Linksideal vonA, welches J echt enthält (da r ∈ \ J). Da J maximal ist, muss = A sein. Es gibt also Elemente l ∈ J, a ∈ Aso, dass l + ar = e. Hieraus folgt, dass l = e − ar von links invertierbar ist. Dies widerspricht schließlich derTatsache, dass l im echten Linksideal J liegt.(ii) ⇒ (iii): Sei r ∈ Rad A, a ∈ A. dann ist e − ar von links invertierbar, und wir zeigen zuerst, dass dieses Elementauch von rechts (und damit im üblichen Sinn) invertierbar ist. Sei e + b eine Linksinverse von e − ar:(e + b)(e − ar) = e bzw. b = ar + bar. (1.6.24)Da r ∈ Rad A und Rad A ein Linksideal ist, ist auch b ∈ Rad A. Insbesondere ist e + b = e − (−e)b von linksinvertierbar, während aus (1.6.24) die Invertierbarkeit von e + b von rechts folgt. Also ist e + b (zweiseitig)invertierbar, und wieder wegen (1.6.24) folgt die zweiseitige Invertierbarkeit von e − ar. Nunmehr ist klar, dassfür beliebige a, b ∈ A das Element e− bar invertierbar ist. Aus Aufgabe 2 der 2. Übung folgt die Invertierbarkeitvon e − ar b.Die Implikation (iii) ⇒ (ii) ist offensichtlich. Die restlichen Implikationen folgen auf Grund der Links-Rechts-Symmetrievon (iii) wie zuvor.Folgerung 1.6.7.(i) Das Radikal einer Algebra mit Eins ist ein zweiseitiges Ideal dieser Algebra.(ii) Das Radikal einer Banachalgebra mit Eins ist ein abgeschlossenes Ideal dieser Algebra.Folgerung 1.6.8. Sei A eine Banachalgebra mit Eins und r ∈ Rad A. Dann ist σ(r) = {0}.Man beachte, dass die Umkehrung dieser Aussage i.a. nicht gilt. Sie gilt jedoch in kommutativen Banachalgebren (vgl.Übung 3, Aufgabe 3, und machen Sie sich klar, dass die dort gegebene Definition des Radikals im Falle kommutativerBanachalgebren mit der hier formulierten allgemeinen Definition übereinstimmen).Im Falle von C ∗ -Algebren wird die Situation wieder besonders einfach.Satz 1.6.9. C ∗ -Algebren mit Einselement sind halbeinfach.Beweis. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins e, und sei r ∈ Rad A. Dann ist nach Satz 1.6.6(iii) e − 1 λ r∗ r für alle λ ≠ 0invertierbar, d.h. λe − r ∗ r ist für alle λ ≠ 0 invertierbar. Dies heißt aber, dass der Spektralradius von r ∗ r gleich 0 ist.Da das Element r ∗ r selbstadjungiert ist, ist nach Satz 1.4.13 auch ‖r ∗ r‖ = 0. Das C ∗ -Axiom liefert nun ‖r‖ = 0, d.h.r = 0.20