Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Sei nun b ∈ A 0 (a). Dann gibt es ein Polynom p so, dass b = p(a). Dieses ist nicht unbedingt eindeutig bestimmt.Gibt es aber zwei Polynome p 1 , p 2 mit b = p 1 (a) = p 2 (a), so ist wegen der Abschätzung p(z0 ) ≤ p(a) auchp 1 (z 0 ) = p 2 (z 0 ). Wir können daher eine AbbildungW 0 : A 0 → , b → p(z 0 )definieren, wobei p irgendein Polynom mit p(a) = b ist. Offenbar ist W 0 ein Homomorphismus. Wegen W0 (b) = p(z0 ) ≤ p(a) = ‖b‖ ist dieser stetig und kann daher zu einem stetigen Homomorphismus W : A(a) → fortgesetztwerden. Für diesen giltNach Lemma 1.4.15 ist z 0 ∈ σ A(a) (a); ein Widerspruch.W (a) = W 0 (a) = p(z 0 ) = z 0 mit p(z) = z.Bemerkung 1.5.12. Durch Satz 1.5.11 wird das Spektrum der Erzeugerelemente in einfach erzeugten Banachalgebrenkomplett charakterisiert. Genauer:Sei K ⊆ kompakt, nicht leer, und \ K zusammenhängend. Dann gibt es eine einfach erzeugte Banachalgebra A mitEinselement und ein Erzeugerelement a ∈ A (d.h. A = A(a)) so, dass σ A(a) (a) = K.1.6 Maximale Ideale und RadikalDefinition 1.6.1. Ein linkes, rechtes oder zweiseitiges Ideal J einer Algebra A heißt echt, wenn es nicht mit ganz Aübereinstimmt. Ein echtes linkes, rechtes oder zweiseitiges Ideal J einer Algebra A heißt maximal, wenn es kein echteslinkes, rechtes bzw. zweiseitiges Ideal in A gibt, welches streng größer ist als J.Satz 1.6.2 (Krull’s Lemma). Jedes echte linke (rechte, zweiseitige) Ideal J einer Algebra A mit Einselement ist enthaltenin einem maximalen linken (rechten, zweiseitigen) Ideal von A.Beweis. Sei J echtes Linksideal von A, und Λ sei die Menge aller echten Linksideale von A, welche J enthalten. DieseMenge ist bzgl. ⊆ partiell geordnet, das heißt:• A ⊆ B, B ⊆ C ⇒ A ⊆ C• A ⊆ A• A ⊆ B, B ⊆ A ⇒ A = Bund Λ ≠ (da J ∈ Λ).Weiter sei Λ ′ ⊆ Λ eine linear geordnete Teilmenge, das heißt:A, B ∈ Λ ′ ⇒ A ⊆ B oder B ⊆ A.Dann ist J ′ := ⋃K wieder ein Linksideal von A, welches J enthält, und J ′ ist ein echtes Ideal, da e nicht in J ′ liegt.K∈Λ ′Also ist J ′ ∈ Λ.Nach dem Zornschen Lemma enthält dann Λ ein maximales Element J max (d.h. J max enthält jedes mit J max vergleichbareIdeal). J max ist offenbar ein maximales Linksideal, welches J enthält.Nach diesem rein algebraischen Resultat gehen wir über zur Betrachtung maximaler Ideale in Banachalgebren.Satz 1.6.3. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e, und sei J ein echtes linkes (rechtes, zweiseitiges) Ideal von A. Dannist die Abschließung von J ebenfalls ein echtes linkes (rechtes, zweiseitiges) Ideal von A.Beweis. Sei J ein echtes Linksideal. Dann ist offenbar clos J ebenfalls ein Linksideal, und wir müssen zeigen, dass clos Jein echtes Ideal ist. Dazu betrachten wir die Menge B := {e − k : ‖k‖ < 1}. Diese ist offen und enthält nur invertierbareElemente (Neumann-Reihe). Keines der Elemente von B kann also in J liegen. B liegt also im Komplement von J, undda B offen ist, liegt B auch im Komplement von clos J. Also ist clos J ≠ A.Folgerung 1.6.4. Maximale linke (rechte, zweiseitige) Ideale unitaler Banachalgebren sind abgeschlossen.Definition 1.6.5. Sei A eine Algebra mit Eins. Unter dem Radikal von A (Bezeichnung: Rad A) versteht man denDurchschnitt aller maximalen Linksideale von A. Die Algebra A heißt halbeinfach, wenn Rad A = {0}.19