Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...
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Inhaltsverzeichnis1 Gr<strong>und</strong>lagen 31.1 Definitionen <strong>und</strong> Beispiele für <strong>Algebren</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Homomorphismen, Ideale, Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Einselement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Elementare Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Inverse Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Maximale Ideale <strong>und</strong> Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Die Gelfandsche Darstellungstheorie 212.1 Kommutative <strong>Banach</strong>algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Kommutative C ∗ -<strong>Algebren</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Stetiger Funktionalkalkül für normale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Darstellungstheorie für C ∗ -<strong>Algebren</strong> 373.1 Positive Elemente <strong>und</strong> Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Homomorphismen, Ideale <strong>und</strong> Quotienten von C ∗ -<strong>Algebren</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Positive Funktionale <strong>und</strong> Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Die GNS-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 Irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 GNS, irreduzible Darstellungen, reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8 Primitive Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9 Irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Nichtkommutative Gelfandtheorien <strong>und</strong> ihre Anwendungen 624.1 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktionen . . . . . . . . 624.2 Singuläre Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 <strong>Banach</strong>algebren mit polynomialer Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731