Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

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Inhaltsverzeichnis1 Grundlagen 31.1 Definitionen und Beispiele für Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Homomorphismen, Ideale, Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Einselement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Elementare Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Inverse Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Maximale Ideale und Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Die Gelfandsche Darstellungstheorie 212.1 Kommutative Banachalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Kommutative C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Stetiger Funktionalkalkül für normale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Darstellungstheorie für C ∗ -Algebren 373.1 Positive Elemente und Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Homomorphismen, Ideale und Quotienten von C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Positive Funktionale und Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Die GNS-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 Irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 GNS, irreduzible Darstellungen, reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8 Primitive Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9 Irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Nichtkommutative Gelfandtheorien und ihre Anwendungen 624.1 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktionen . . . . . . . . 624.2 Singuläre Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Banachalgebren mit polynomialer Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
EinleitungIn dieser Vorlesung soll eine Einführung in die Theorie der Banach- und C ∗ -Algebren gegeben werden. Diese Algebrenwerden seit ca. 60 Jahren intensiv untersucht. Mittlerweile verfügt man über eine tiefgehende und komplexe Theorie derC ∗ -Algebren, die ihre Stärke in zahlreichen und vielfältigen Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik(Operatortheorie, Maßtheorie, Topologie, Gruppentheorie, Geometrie, Zahlentheorie, etc.) unter Beweis gestellt hat.Meinen persönlichen Interessen entsprechend werde ich versuchen, den Anwendungsaspekt stärker zu betonen.Es gibt eine Reihe ausgezeichneter Bücher über Banach- und C ∗ -Algebren wie z.B.• Arveson: An Invitation to C ∗ -Algebras, Springer 1976 (recht knapp)• Bonsall, Duncan: Complete Normed Algebras, Springer 1973• Bratteli, Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, I, Springer 1979 (leicht zu lesen,anwendungsorientiert)• Davidson: C ∗ -Algebras by Example, AMS 19996 (zahlreiche konkrete Algebren und Anwedungen)• Dixmier: C ∗ -Algebras, North Holland 1982 (ein Klassiker)• Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Academic Press 1972 (angenehm zu lesen, Anwendungenin Operatortheorie)• Kadison, Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I-IV, Academic Press, AMS, Birkhäuser(umfassende Darstellung, zahlreiche Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen)• Murphey: C ∗ -Algebras and Operator Theory, Academic Press (gut lesbare Einführung)• Pedersen: C ∗ -Algebras and their Automorphism Groups, Academic Press 1979 (knapp geschrieben, anspruchsvoll,vielleicht DAS Buch über C ∗ -Algebren)• Rickart: General Theory of Banach Algebras, van Nostraud 1960 (klassische Darstellung)• Connes: Non-commutative Geometry, Academic Press 1994 (kein Lehrbuch, keine Monographie - eher wohl eineVision und eines der aufsehenerregensden Bücher der letzten Jahre)2
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Seite 5 und 6: Beispiel 1.1.5. Ist X ein normierte
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Seite 16 und 17: Beispiel 1.5.1. Für n ∈ sei χ
Seite 18 und 19: Hat beispielsweise σ A (b) folgend
Seite 20 und 21: Sei nun b ∈ A 0 (a). Dann gibt es
Seite 22 und 23: 2 Die Gelfandsche Darstellungstheor
Seite 24 und 25: Schreibweise 2.1.4. Man nennt M(A)
Seite 26 und 27: Beispiel 2.1.12. Wir betrachten nun
Seite 28 und 29: Beweis. Aus Satz 2.1.5 wissen wir,
Seite 30 und 31: Beweis des Satzes von Gelfand. Wir
Seite 32 und 33: Beweis. Für λ ∈ σ(a) definiere
Seite 34 und 35: Bei L(a) und T(a) sind also die Ein
Seite 36 und 37: Satz 2.4.4. K(l 2 ( + )) ⊆ T( ).B
Seite 38 und 39: 3 Darstellungstheorie für C ∗ -A
Seite 40 und 41: Als Anwendung zeigen wir noch ein R
Seite 42 und 43: Satz 3.2.6. Seien A, B C ∗ -Algeb
Seite 44 und 45: Satz 3.3.4. Sei A eine C ∗ -Algeb
Seite 46 und 47: 3.4 DarstellungenDefinition 3.4.1.
Seite 48 und 49: woraus wegen der Linearität von π
Seite 50 und 51: Bemerkung 3.5.4. Ist die Algebra A
Seite 52 und 53:
Satz 3.6.3. Jede topologisch irredu
Seite 54 und 55:
Nun ist A sa sicher konvex, und mit
Seite 56 und 57:
und g1 (a) ≤ t −1 ‖π(a)‖
Seite 58 und 59:
3.8 Primitive IdealeFür kommutativ
Seite 60 und 61:
Die Mengen hull M, wobei M die Teil
Seite 62 und 63:
Da die Linearkombinationen der Oper
Seite 64 und 65:
Beispiel 4.1.2. Das kleinstmöglich
Seite 66 und 67:
wobei â(t) = a(−t), ã(t) = a(1/
Seite 68 und 69:
(ii) Wir haben T(PC)/K(l 2 )) mit d
Seite 70 und 71:
Beweis. Für n = 0 ist(Se 0 )(e i y
Seite 72 und 73:
Wir werden diese Matrixdarstellung
Seite 74 und 75:
Einige Worte zum Beweis folgen im n
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