Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

(iii) Da selbstadjungierte Elemente normal sind, ist r(a) = ‖a‖. Zu zeigen ist, dass a − λe für alle λ ∈ \ mit|λ| ≤ ‖a‖ invertierbar ist. Wählen eine reelle Zahl µ mit 1 > ‖a‖. Dann ist e + iµa invertierbar, und wirµdefinierenu := (e − iµa)(e + iµa) −1 .Dieses Element ist unitär. Wegen (1 − iµλ)(1 + iµλ)−1 ≠ 1 ist nach (ii) das Element u−(1− iµλ)(1+ iµλ) −1 einvertierbar. Da aberist auch λe − a invertierbar.u − (1 − iµλ)(1 + iµλ) −1 e = (e − iµa)(e + iµa) −1 − (1 − iµλ)(1 + iµλ) −1 e=(1 + iµλ) −1 (1 + iµλ)(e − iµa) − (1 − iµλ)(e + iµa) (e + iµa) −1=(1 + iµλ) −1 2µi(λe − a) (e + iµa) −1 ,Satz 1.5.9. Sei A eine C ∗ -Algebra mit e und B symmetrische und abgeschlossene Unteralgebra von A mit e ∈ B. Dannist B invers abgeschlossen in A.Dies ist einer der Sätze, die das Arbeiten mit C ∗ -Algebren so angenehm machen. Will man die Invertierbarkeit einesElementes a ∈ A untersuchen, so genügt es, diese Invertierbarkeit in irgendeiner C ∗ -Unteralgebra von A, die e unda (und damit auch a ∗ ) enthält, zu untersuchen, z.B. in der kleinsten abgeschlossenen Unteralgebra von, A, welchee, a, a ∗ enthält.Beweis von Satz 1.5.9. Ist b ∈ B in A invertierbar, so ist auch b ∗ b in A invertierbar. Nach Satz 1.5.8(iii) ist σ B (b ∗ b) ⊆, und nach Folgerung 1.5.5 ist dann σ A (b ∗ b) = σ B (b ∗ b). Also ist b ∗ b auch in B invertierbar. Analog sieht man,dass auch bb ∗ in B invertierbar ist. Dann ist aber b in B invertierbar.Wir kommen noch einmal auf das Problem zurück wie sich das Spektrum σ B (a) eines Elementes a ∈ B in Abhängigkeitvon der Unteralgebra B ⊆ A verhält. Klar ist: je ”kleiner” B ist, desto größer wird σ B (a) werden, wobei wegen Satz1.5.4 sich σ A (a) und σ B (a) nur um beschränkte zusammenhängende Komponenten von \σ A (a) unterscheiden. Waspassiert, wenn man B minimal wählt?Sei A eine Banachalgebra mit Eins e und a ∈ A. Die kleinste Algebra, die a und das Einselement enthält, bestehtoffenbar aus allen Polynomen p(a), wobei für p(t) := α 0 +α 1 t +· · ·+α n t n definiert wird: p(a) = α 0 e +α 1 a +· · ·+α n a n .Die kleinste abgeschlossene Unteralgebra A(a) von A, welche a und e enthält, ist dann alsoOffenbar ist A(a) stets kommutativ.A(a) := clos p(a) : p Polynom .Definition 1.5.10. Allgemein nennt man eine Banachalgebra A mit Einselement e einfach erzeugt (singly generated),wenn es ein Element a in A gibt, so dass A = A(a).Insbesondere ist A(a) stets einfach erzeugt.Satz 1.5.11. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e und a ∈ A. Dann ist \ σ A(a) (a) zusammenhängend.σ A(a) (a) entsteht also aus σ A (a) durch Hinzunahme aller beschränkter zusammenhängender Komponenten von \σ A (a) (d.h. durch ”Ausfüllen aller Löcher in σ A (a)”). Sehen wir uns in diesem Lichte noch einmal die Diskalgebra an. Diese ist einfach erzeugt durch die Funktion χ 1 . Also ist \ σ (χ 1 ) zusammenhängend. Außerdem wissen wir,dass σ C() (χ 1 ) = χ 1 () = . Nach Satz 1.5.4 ist also σ (χ 1 ) gleich oder . Da \ σ (χ 1 ) zusammenhängend seinmuss, bleibt nurσ (χ 1 ) = .Beweis von Satz 1.5.11. Angenommen, die offene Menge \σ A (a) besitzt eine nichtleere beschränkte zusammenhängendeKomponente G. Sei z 0 ∈ G, und sei A 0 (a) die kleinste (nicht-abgeschlossene) Unteralgebra von A(a), welche eund a enthält. Weiter sei p ein Polynom. Dieses können wir als holomorphe Funktion auf ganz auffassen. Dann gilt p(z0 ) ≤ max p(z) : z ∈ ∂ G(Maximumprinzip)≤ max p(z) : z ∈ σA(a) (a) (da ∂ G ⊆ σ A(a) (a))= max |λ| : λ ∈ σ A(a) (p(a)) (Aufg: 3(b), 2. Übung)=r(p(a)) ≤ p(a) .18