Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Hat beispielsweise σ A (b) folgende Form:so kann σ B (b) nur so aussehen:oderDieser Satz folgt sofort aus dem vorangegangenen Resultat und einfachen topologischen Überlegungen.Folgerung 1.5.5. Seien A, B, b wie in Satz 1.5.3. Besitzt σ B (b) keine (bzgl. ) inneren Punkte, so istσ A (b) = σ B (b)Besitzt σ B (b) keine inneren Punkte, so ist es nicht durch Vereinigung von σ A (b) mit offenen Mengen entstanden,fällt also mit σ A (b) zusammen.Definition 1.5.6. Die Unteralgebra B heißt invers abgeschlossen in A, fallsσ B (b) = σ A (b) für alle b ∈ B.So ist die Diskalgebra nicht invers abgeschlossen in C(). Wir werden nun zeigen, dass C ∗ -Unteralgebren von C ∗ -Algebren stets invers abgeschlossen sind. Dazu verschaffen wir uns zunächst Informationen über Spektren gewisserElemente.Definition 1.5.7. Ein Element a einer unitalen Algebra mit Involution heißt• isometrisch, wenn a ∗ a = e,• selbstadjungiert, wenn a ∗ = a,• unitär, wenn a ∗ a = aa ∗ = e.Satz 1.5.8. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins. Dann gilt:(i) ist a ∈ A isometrisch, so ist r(a) = 1.(ii) ist a ∈ A unitär, so ist σ(a) ⊆ .(iii) ist a ∈ A selbstadjungiert, so ist σ(a) ⊆ .Beweis.(i) Wir haben ‖a n ‖ 2 = (a n ) ∗ a n = an−1∗}{{} a ∗ a a n−1 = a n−1 ∗an−1 ,eund durch Wiederholung dieser Überlegungen folgt ‖a n ‖ = 1 für alle n. Die Formel für den Spektralradius liefertdie Behauptung.(ii) Nach (i) ist σ(a) ⊆ . Da a −1 ebenfalls unitär ist, gilt auch σ a −1 ⊆ . Nun gilt aber (↗ Übung) für beliebigeinvertierbare Elemente in Banachalgebrenσ(a) −1 = σ a −1 ,woraus σ(a) ⊆ (und σ a −1 ⊆ ) folgt.17