Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Wir betrachten die Funktion χ 1 , welche sowohl in C() als auch in der Diskalgebra liegt. Betrachtet als Element vonC() ist offenbarσ C() (χ 1 ) = , (1.5.21)dagegen werden wir uns überlegen, dassσ (χ 1 ) = , (1.5.22)wobei = {z ∈ : |z| < 1}. Wegen χ1∞= 1 ist zunächst klar, dass σ (χ 1 ) ⊆ . Außerdem folgt aus (1.5.19) und(1.5.21), dass ⊆ σ (χ 1 ). Ist schließlich w ∈ , so ist F w (χ 1 ) = w, und aus σ (w) = {w} und Lemma 1.4.15 folgtw ∈ σ (χ 1 ). Damit ist auch ⊆ σ (χ 1 ).Dies zeigt also, dass das -Spektrum von χ 1 wesentlich größer als das C()-Spektrum dieser Funktion ist. Es zeigtaber auch, dass das -Spektrum ”durch Ausfüllen der Löcher im C()-Spektrum” entsteht.σ C(T) (χ 1 ) σ A (χ 1 )Die am Ende des Beispiels gemachte Beobachtung ist kein Zufall, sondern gilt allgemein, wie wir mit Hilfe des folgendenResultats von Shilov zeigen werden.Satz 1.5.3. Sei A eine Banachalgebra mit e und B abgeschlossene Unteralgebra von A mit e ∈ B. Für jedes Elementb ∈ B ist dannwobei ∂ M für den Rand der Menge M steht.Beweis. Wegen σ A (b) ⊆ σ B (b) genügt es zu zeigen, dassDenn gilt dies, so ist∂ σ B (b) ⊆ ∂ σ A (b) ,∂ σ B (b) ⊆ σ A (b) für alle b ∈ B.∂ σ B (b) ⊆ σ A (b) = int σ A (b) ∪ ∂ σ A (b) ⊆ int σ B (b) ∪ ∂ σ A (b) .Wegen ∂ σ B (b) ∩ int σ B (b) = muss dann ∂ σ B (b) ⊆ ∂ σ A (b) gelten. Sei also λ ∗ ∈ ∂ σ B (b) . Dann gibt eseine Folge (λ n ) ⊆ ϱ B (b) mit λ n → λ ∗ . Angenommen, für ein n ∈ wäre (b − λn e) −1 1 < . λ ∗ − λ nDann wäre wegen λn − λ ∗ = (b − λ ∗ e) − (b − λ n e) 1< (b − λn e) −1 das Element b − λ ∗ e invertierbar (Neumann-Reihe), was Unsinn ist. Also ist (b − λn e) −1 ≥1damit insbesondere|λ ∗ −λ n|für alle n undlim (b − λn e) −1 = ∞. (1.5.23)n→∞Wäre nun λ ∗ ∉ σ A (b), so wäre wegen Satz 1.4.7 (b − λe)−1 beschränkt für alle λ aus einer Umgebung von λ ∗ , was(1.5.23) widerspricht.Satz 1.5.4. Sei A eine Banachalgebra mit e, B abgeschlossene Unteralgebra von A mit e ∈ B, und sei b ∈ B. Dann istσ B (b) die Vereinigung aus σ A (b) mit einer gewissen Anzahl beschränkter zusammenhängender (offener) Komponentenvon \ σ A (b).16