Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beispiel 1.5.1. Für n ∈ sei χ n die durch χ n (t) := t n definierte stetige Funktion auf der Einheitskreislinie . DieFunktionen inN∑P := a n χ n : N ∈ , a n ∈ n=−Nheißen trigonometrische Polynome. P ist eine symmetrische Unteralgebra von C() und die Abschließung von P inC() ist ganz C() (Satz von Stone/Weierstrass). Auch die Menge N∑P + := a n χ n : N ∈ , a n ∈ n=0der analytischen trigonometrischen Polynome ist eine Unteralgebra von C(). Ihre Abschließung in C() ist diesog. Diskalgebra. Es ist an dieser Stelle nicht offensichtlich, dass ≠ C(). Dies wird aber im Verlaufe dieses Beispielsgezeigt. Dazu benötigen wirLemma 1.5.2. IstN∑a n χ n ∈ P + und w ∈ mit |w| < 1, so giltn=0N∑n=0a n w n = 12π∫2π0 N∑n=0ea n χ 1itn d t. (1.5.20)1 − we−it Beweis. Die Reihe11 − we −it =∞∑ ∞∑we−itk= w k e −iktk=0k=0konvergiert gleichmäßig bzgl. t ∈ [0, 2π]. Wir können daher auf der rechten Seite von (1.5.20) Summation undIntegration vertauschen.Nun ist∫2π012π∫2π0 N∑ ea n χ ∑ ∞itn w k e −ikt d t = 12πn=0k=0N∑∞∑a nn=0 k=0∫2πw k0e i(n−k)t d t.e i(n−k)t d t = 2π für k = n und = 0 für k ≠ n. Hieraus folgt sofort die Behauptung.Für jedes w ∈ mit |w| < 1 definieren wirF w : P + → ,N∑N∑a n χ n → a n w n .n=0n=0Diese Abbildung ist ein Homomorphismus, und aus Lemma 1.5.2 folgt, dass F w sogar stetig ist: N∑ F N∑ w a n χ n =a n w nn=0n=0 ∫2π 1 N∑ e=a n χ 1itn2π1 − we d t −it n=0≤ 12π0N∑n=0 ∞ ∫2πa n χ n01 1 − we−it d t.(Man beachte, dass die Stetigkeit von F w nicht aus Satz 1.4.17 folgt, da P + keine vollständige Algebra ist.) Auf Grunddieser Stetigeit können wir F w zu einem stetigen Homomorphismus von auf fortsetzen. Diesen bezeichnen wirwieder mit F w . Offenbar ist F w unital.15