Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis. Wir überlegen zunächst, dass man alles auf den Fall zurückführen kann, wo A und B Einselemente besitzenund W unital ist. Besitzt A ein Einselement, so ersetzen wir B durch die C ∗ -Algebra clos W (A). Ist e ∈ A Einselement,so giltW (e)W (a) = W (a) = W (a)W (e)∀a ∈ Aund damitW (e)b = b = bW (e)∀b ∈ clos W (A)Also ist W (e) Einselement in W (A) und W : A → W (A) ist unital. Besitzt A kein Einselement, so bezeichnen wirmit à die Erweiterung von A zu einer Algebra mit Eins (Satz 1.3.2) und wir setzen ˜B := B, falls B ein Einselementbesitzt und bezeichnen mit ˜B die Erweiterung von B zu einer C ∗ -Algebra mit Eins gemäß Satz 1.3.3, falls B keinEinselement besitzt.Durch einfaches Nachrechnen bestätigt man, dass durch˜W : à → ˜B, (a, λ) → w(a) + λe ˜B (1.4.17)ein unitaler ∗ -Homomorphismus definiert wird.Seien also nun A, B und W unital und sei zunächst a ∈ A selbstadjungiert. Da W symmetrisch ist, ist auch W (a)selbstadjungiert und mit Lemma 1.4.15 und Satz 1.4.13 folgt‖W (a)‖ 2 = r(W (a)) ≤ r(a) ≤ ‖a‖ (1.4.18)für beliebiges a ∈ A ist nun‖W (a)‖ = W (a) ∗ W (a) = W (a ∗ a) (1.4.18)≤ a ∗ a ≤ a ∗ ‖a‖ = ‖a‖2woraus die Behauptung folgt. (Man beachte, dass man für ˜W in (1.4.17) zunächst ˜W (a, λ) ≤ ‖(a, λ)‖ erhält, worausfür λ = 0 ‖W (a)‖ ≤ ‖a‖ folgt).Für Homomorphismen A → lässt sich sogar eine noch stärkere Stetigkeitsausage bewiesen.Satz 1.4.17. Sei A eine Banachalgebra und W : A → Homomorphismus. Dann ist W stetig und ‖W ‖ ≤ 1. Hat AEinselement e und ist W ≠ 0, so ist W (e) = 1 und ‖W ‖ = 1.Beweis. Angenommen, ‖W ‖ > 1. Dann gibt es ein a ∈ A mit ‖a‖ < 1 und W (a) = 1. Die Reihe b :=und für b gilt: a + ab = b. Wenden wir dies auf die Identität W an, so folgtW (b) = W (a) + W (a)W (b) = 1 + W (b)∞∑a n konvergiertn=1ein Widerspruch. Also ist ‖W ‖ ≤ 1.Hat A ein Einselement e und ist W ≠ 0, so ist W (e) ≠ 0 (aus W (e) = 0 würde nämlich W (a) = W (ea) = W (e)W (a)für alle a ∈ A, d.h. W = 0 folgen). Aus W (e) 2 = W (e) folgt W (e) = 1. Wegen ‖e‖ = 1 folgt ‖W ‖ ≥ 1.1.5 Inverse AbgeschlossenheitIn diesem Abschnitt sei A eine Banachalgebra mit Eins e und B eine abgeschlossene Unteralgebra von A welche eenthält. Offenbar (bzw. wegen Lemma 1.4.15, angewandt auf den Einbettungshomomorphismus von B in A) gilt dannσ A (b) ⊆ σ B (b) für alle b ∈ B. (1.5.19)Das folgende Beispiel zeigt, dass diese Spektren in der Regel nicht übereinstimmen.14